Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

Elaboração Própria

Encontre a posição do centro de massa do objeto desenhado na figura abaixo, sabendo que ele é constituído por 6 pedações de arames homogêneo feitos do mesmo material.

Passo 1

Assim como quando usamos fios, ao usar arames, vamos considerar em vez da massa, o seu comprimento. Isso porque a massa e o comprimento são proporcionais, então no cálculo do centro de massa não altera o resultado.

Vamos colocar o eixo cartesiano como na figura abaixo.

Repara que temos 6 barras, uma coisa para ajudar a organizar a resolução é nomear cada barra. Para achar o centro de massa precisamos da posição do meio de cada barra para usar na fórmula. Não temos o comprimento de todas elas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar encontrando o comprimento das barras 2 e 5 . Vamos chamar seu comprimento de d . Olha o triangulo 6 , 5,4

Esse triangulo é isósceles, então posso separar o ângulo α como fiz na figura. Usando trigonometria encontramos

d / 2 L = sen ⁡ α 2

d = 2 L sen ⁡ α 2

Passo 3

Vamos começar achando a posição do centro de massa da barra 6 .

Repara que a posição vertical dele vai ser

y 6 = h 2 + L

Que é a metade da “altura” da barra h / 2 mais a a altura onde a barra está L .

Vamos achar h então, usando trigonometria de novo

h L = cos ⁡ α 2

h = L cos ⁡ α 2

Vamos ter

y 6 = L 2 cos ⁡ α 2 + L

Passo 4

Agora vamos achar a posição horizontal dele, que vai ser

x 6 = d / 2 2 = d 4

Isso porque ela fica na metade do “comprimento” da barra, e esse “comprimento” é d / 2 .

Então

x 6 = L 2 sen ⁡ α 2

É importante entender que em uma barra o centro de massa está na metade do comprimento e na metade da altura da barra.

Passo 5

Vamos agora para a barra 4

a altura do centro de massa dessa barra vai ser igual a da barra 6

y 4 = y 6 = L 2 cos ⁡ α 2 + L

Passo 6

A posição horizontal dele vai ser

x 4 = d 2 + d / 2 2 = 3 d 4

Então

x 4 = 3 L 2 sen ⁡ α 2

Passo 7

O centro de massa das outras barras é mais fácil de fazer, segue um desenho da posição de cada um

Vamos ter,

B a r r a   1 x 1 = 0 y 1 = L 2

B a r r a   2 x 2 = d 2 = L sen ⁡ α 2 y 2 = 0

B a r r a   3 x 3 = d = 2 L sen ⁡ α 2 y 3 = L 2

B a r r a   5 x 5 = d 2 = L sen ⁡ α 2 y 5 = L

Passo 8

Vamos agora juntar isso tudo, começando pela posição horizontal

e i x o   x x 1 = 0 x 2 = L sen ⁡ α 2 x 3 = 2 L sen ⁡ α 2 x 4 = 3 L 2 sen ⁡ α 2 x 5 = L sen ⁡ α 2 x 6 = L 2 sen ⁡ α 2

x C M = x 1 ⋅ L 1 + x 2 ⋅ L 2 + x 3 ⋅ L 3 + x 4 ⋅ L 4 + x 5 ⋅ L 5 + x 6 ⋅ L 6 L 1 + L 2 + L 3 + L 4 + L 5 + L 6

Sabemos que

L 2 = L 5 = d = 2 L sen ⁡ α 2

L 1 = L 3 = L 4 = L 6 = L

x C M = L sen ⁡ α 2 2 L sen ⁡ α 2 + 2 L sen ⁡ α 2 L + 3 L 2 sen ⁡ α 2 L + L sen ⁡ α 2 2 L sen ⁡ α 2 + L 2 sen ⁡ α 2 L 4 L + 2 ⋅ 2 L sen ⁡ α 2

x C M = 2 L 2 sen 2 ⁡ α 2 + 2 L 2 sen ⁡ α 2 + 3 L 2 2 sen ⁡ α 2 + 2 L 2 sen 2 ⁡ α 2 + L 2 2 sen ⁡ α 2 4 L + 4 L sen ⁡ α 2

x C M = 4 L 2 sen 2 ⁡ α 2 + 4 L 2 sen ⁡ α 2 4 L + 4 L sen ⁡ α 2

Colocando o que der para colocar em evidência

x C M = 4 L 2 sen ⁡ α 2 sen ⁡ α 2 + 1 4 L 1 + sen ⁡ α 2

x C M = L sen ⁡ α 2

Ufa né? Deixa eu te falar uma parada, eu fiz dessa forma mega trabalhosa para te mostrar como fazer essa questão e entender bem a matéria, afinal estamos nos exercícios de fixação.

Mas aqui vai a dica para esse tipo de questão

Podíamos simplesmente fazer

x C M = d 2 = L sen ⁡ α 2

Porque ele é simétrico, mas é importante fazer essas contas para ficar craque em centro de massa. Vamos continuar a questão.

Passo 9

Vamos agora achar ao longo do eixo y

e i x o   y y 1 = L 2 y 2 = 0 y 3 = L 2 y 4 = L 2 cos ⁡ α 2 + L y 5 = L y 6 = L 2 cos ⁡ α 2 + L

y C M = y 1 ⋅ L 1 + y 2 ⋅ L 2 + y 3 ⋅ L 3 + y 4 ⋅ L 4 + y 5 ⋅ L 5 + y 6 ⋅ L 6 L 1 + L 2 + L 3 + L 4 + L 5 + L 6

Sabemos que

L 2 = L 5 = d = 2 L sen ⁡ α 2

L 1 = L 3 = L 4 = L 6 = L

y C M = L 2 L + L 2 L + L 2 cos ⁡ α 2 + L L + L 2 L sen ⁡ α 2 + L 2 cos ⁡ α 2 + L L 4 L + 2 ⋅ 2 L sen ⁡ α 2

y C M = L 2 2 + L 2 2 + L 2 2 cos ⁡ α 2 + L 2 + 2 L 2 sen ⁡ α 2 + L 2 2 cos ⁡ α 2 + L 2 4 L + 4 L sen ⁡ α 2

y C M = 3 L 2 + L 2 cos ⁡ α 2 + 2 L 2 sen ⁡ α 2 4 L + 4 L sen ⁡ α 2

Colocando o que der para colocar em evidência

y C M = 2 L 2 3 2 + 1 2 cos ⁡ α 2 + sen ⁡ α 2 4 L 1 + sen ⁡ α 2

y C M = L 2 ⋅ 3 2 + 1 2 cos ⁡ α 2 + sen ⁡ α 2 1 + sen ⁡ α 2

Passo 10

Vamos escrever a posição do centro de massa na forma vetorial.

r → C M = x C M i ^ + y C M j ^

r → C M = L sen ⁡ α 2 i ^ + L 2 ⋅ 3 2 + 1 2 cos ⁡ α 2 + sen ⁡ α 2 1 + sen ⁡ α 2 j ^

Resposta

r → C M = L sen ⁡ α 2 i ^ + L 2 ⋅ 3 2 + 1 2 cos ⁡ α 2 + sen ⁡ α 2 1 + sen ⁡ α 2 j ^

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