Na molécula de amônia ( N H 3 ) da fogira mostrada a seguir, três átomos de hidrogênio (H) formam um triângulo equilátero, com o centro do triângulo a uma distância d = 9,40 × 10 - 11   m de cada átomo de hidrogênio. O átomo de nitrogênio (N) está no vértice superior de uma pirâmide, com os três átomos de hidrogênio formando a base. A razão entre as massas de nitrogênio e do hidrogênio é 13,9 e a distância nitrogênio-hidrogênio é L = 10,14 × 10 - 11   m . Quais são as coordenadas

(a) x e

(b) y do centro de massa da molécula?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos deu um sistema composto por 3 barras homogêneas e nos pediu para calcular o centro de massa. O centro de massa é como se fosse a média entre as coordenadas e as massas das partes do sistema. No nosso caso temos três átomos de hidrogênio e um de amônia.

O interessante aqui é a gente perceber que temos simetria! A base forma um triângulo equilátero e com os dados, podemos achar a altura da molécula de N .

A fórmula do centro de massa é:

x c m = m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 + m 4 x 4 m 1 + m 2 + m 3 + m 4

y c m = m 1 y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 + m 4 y 4 m 1 + m 2 + m 3 + m 4

Porém, devemos prestar atenção para o caso de haver simetria na peça (e aqui tem!). Neste caso, percebemos que o eixo y corta exatamente nossa peça ao meio (!!).

Mas relaxa, vou ajudar você aqui!

Vamos lá?

Passo 2

Letra (a): vamos começar calculando a coordenada x do centro de massa.

Pela questão de simetria que falei ali no passo anterior, para calculcar a coordenada x do centro de massa não precisamos aplicar a expressão da da no passo anterior. Devemos perceber que o centro de massa da peça está localizado no eixo de simetria que é o eixo y . Já que a base forma um triângulo equilátero e o átomo de N está bem no centro ao longo do eixo y .

Assim:

x c m = 0

Beleza? Agora vamos para o cálculo da coordenada y!

Passo 3

Letra (b): Para determinar a coordenada y do centro de massa, usaremos a expressão dada no passo inicial:

y c m = m 1 y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 + m 4 y 4 m 1 + m 2 + m 3 + m 4

As coordenadas y dos hidrogênios são todas nulas, já que esses átomos estão no chão.

Assim temos:

y c m = m 1 0 + m 2 0 + m 3 0 + m N y N m N + 3 m H

Podemos isolar y N , que é a componente y do Nitrogênio. Aí temos o seguinte:

y c m m N m N + 3 y c m m H m N = y N

Tranquilo? Agora vamos voltar para o desenho!

Passo 4

Vamos rever o desenho:

Como o desenho é formado por triângulos retângulo, podemos aplicar o teorema de pitágoras para determinar o y N . A hipotenusa do triângulo é o L , um dos catetos é a distância d e y N é o outro. Dai temos

L 2 = d 2 + y N 2

y N = L 2 - d 2

E substituindo os valores dados:

y N =   10,14 × 10 - 11 2 - 9,4 × 10 - 11 2 = 3,80 × 10 - 11   m

E foi dado que a relação entre a massa de nitrogênio e de hidrogênio é m N m H = 13,9 . Aí podemos resgatar a equação para y N do passo anterior

y c m m N m N + 3 y c m m H m N = y N

E substituir m N / m H e y N :

y c m + 3 y c m 13,9 = 3,80 × 10 - 11

E isolando y c m :

13,9 + 3 y c m 13,9 = 3,80 × 10 - 11

Por fim temos y c m :

y c m = 3,80 × 10 - 11 × 13,9 16,9 = 3,13 × 10 - 11   m

E essa é a coordenada y do centro de massa dessa molécula!

Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!

Resposta

  1. x c m = 0 ;
  2. y c m = 3,13 × 10 - 11   m .

Exercícios de Livros Relacionados

A Fig. 9-35 mostra um sistema de três partículas de massas m 1 = 3,0k g , m 2 = 4,0k g e m 3 = 8,0k g . As escalas do gráfico são definidas por x s = 2,0m e y s = 2,0m . Quais são (a) a coordenada x e
Um pedaço uniforme de folha de metal é moldado conforme mostrado na Figura P8.34. Calcule as coordenadas x e y do centro de massa da folha.
Uma haste de 30,0c m de comprimento tem densidade linear (massa por comprimento) definida por λ=50,0+20,0x em que x é a distância a partir de uma extremidade, medida em metros, e λ expressa g r a m a
Duas partículas de 3,0k g têm velocidades v → 1 = 2,0 m s i ^ + 3,0 m s j ^ e v → 2 = 4,0 m s i ^ - 6,0 m s j ^ . Encontre a velocidade do centro de massa do sistema.
Quatro corpos estão situados ao longo do eixo y da seguinte forma: um de 2,00k g está a + 3,00m , um de 3,00k g está a + 2,50m , o terceiro, de 2,50k g , está na origem, e o quarto, de 4,00k g , está