Um arame homogêneo e uniforme, de espessura desprezível, é moldado na forma de um quadrado de aresta a . Retira-se então um segmento de comprimento a / 2 de duas arestas , reduzindo-as à metade, como mostra a figura. No novo sistema a distancia do centro de massa à origem é igual a,

  1. 3 7 2 a
  2. 4 9 2 a
  3. 1 4 2 a
  4. 3 8 2 a
  5. 1 3 2 a

Passo 1

Para achar a distância do centro de massa até a origem devemos achar o centro de massa.

Ao usar arames, vamos considerar em vez da massa, o seu comprimento. Isso porque a massa e o comprimento são proporcionais, então no cálculo do centro de massa não altera o resultado.

O eixo cartesiano já foi dado pelo enunciado, então vamos nos basear nele.

Repara que o novo sistema é composto por 4 arames, vamos numera-los para nos organizar.

Passo 2

Lembra que o centro de massa de um arame é no seu “meio”? Então

E i x o   x x 1 = 0 x 2 = a 2 x 3 = a x 4 = a / 2 2 = a 4

E i x o   y y 1 = a 2 y 2 = 0 y 3 = a / 2 2 y 4 = a

Passo 3

Usando a fórmula para as coordenadas do centro de massa vamos ter

x C M = x 1 ⋅ L 1 + x 2 ⋅ L 2 + x 3 ⋅ L 3 + x 4 ⋅ L 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4

Lembrando que

L 1 = L 2 = a

L 3 = L 4 = a 2

Então

x C M = 0 ⋅ a + a / 2 ⋅ a + a ⋅ a / 2 + a / 4 ⋅ a / 2 2 a + 2 ⋅ a / 2

x C M = a 2 / 2 + a 2 / 2 + a 2 / 8 2 a + a

x C M = 3 a 8

Passo 4

Agora fazendo no e i x o   y

y C M = y 1 ⋅ L 1 + y 2 ⋅ L 2 + y 3 ⋅ L 3 + y 4 ⋅ L 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4

Então

y C M = a / 2 ⋅ a + 0 ⋅ a + a / 4 ⋅ a / 2 + a ⋅ a / 2 2 a + 2 ⋅ a / 2

y C M = a 2 / 2 + a 2 / 8 + a 2 / 2 2 a + a

y C M = 3 a 8

Passo 5

O vetor posição do centro de massa vai ser

r → C M = x C M i ^ + y C M j ^

r → C M = 3 a 8 i ^ + 3 a 8 j ^

A distância do centro de massa até a origem é o módulo do vetor posição, já que o vetor posição parte sempre da origem.

r → C M 2 = 3 a 8 2 + 3 a 8 2

r → C M 2 = 9 a 2 64 + 9 a 2 64

r → C M 2 = 18 a 2 64

r → C M = 3 8 a 2

Resposta

Letra D

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A Fig. 9-35 mostra um sistema de três partículas de massas m 1 = 3,0k g , m 2 = 4,0k g e m 3 = 8,0k g . As escalas do gráfico são definidas por x s = 2,0m e y s = 2,0m . Quais são (a) a coordenada x e
Um pedaço uniforme de folha de metal é moldado conforme mostrado na Figura P8.34. Calcule as coordenadas x e y do centro de massa da folha.
Uma haste de 30,0c m de comprimento tem densidade linear (massa por comprimento) definida por λ=50,0+20,0x em que x é a distância a partir de uma extremidade, medida em metros, e λ expressa g r a m a
Duas partículas de 3,0k g têm velocidades v → 1 = 2,0 m s i ^ + 3,0 m s j ^ e v → 2 = 4,0 m s i ^ - 6,0 m s j ^ . Encontre a velocidade do centro de massa do sistema.
Quatro corpos estão situados ao longo do eixo y da seguinte forma: um de 2,00k g está a + 3,00m , um de 3,00k g está a + 2,50m , o terceiro, de 2,50k g , está na origem, e o quarto, de 4,00k g , está