Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

UFRJ – 2ª Prova – 2012.1

Um arame homogêneo e uniforme, de espessura desprezível, é moldado na forma de um quadrado de aresta a . Retira-se então um segmento de comprimento a / 2 de duas arestas , reduzindo-as à metade, como mostra a figura. No novo sistema a distância do centro de massa à origem é igual a,

a   3 7 2 a

( b )   4 9 2 a

c   1 4 2 a

( d )   3 8 2 a

( e )   1 3 2 a

Passo 1

Para achar a distância do centro de massa até a origem devemos achar a posição do centro de massa e fazer o módulo desse vetor.

Ao usar arames, vamos considerar em vez da massa, o seu comprimento. Isso porque a massa e o comprimento são proporcionais, então no cálculo do centro de massa não altera o resultado.

O eixo cartesiano já foi dado pelo enunciado, então vamos nos basear nele.

Repara que o novo sistema é composto por 4 arames, vamos numera-los para nos organizar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembra que o centro de massa de um arame é no seu “meio”? Então:

E i x o   x x 1 = 0 x 2 = a 2 x 3 = a x 4 = a / 2 2 = a 4

E i x o   y y 1 = a 2 y 2 = 0 y 3 = a / 2 2 y 4 = a

Passo 3

Usando a fórmula para as coordenadas do centro de massa vamos ter

x C M = x 1 ⋅ L 1 + x 2 ⋅ L 2 + x 3 ⋅ L 3 + x 4 ⋅ L 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4

Lembrando que

L 1 = L 2 = a

L 3 = L 4 = a 2

Assim

x C M = 0 ⋅ a + a / 2 ⋅ a + a ⋅ a / 2 + a / 4 ⋅ a / 2 2 a + 2 ⋅ a / 2

x C M = a 2 / 2 + a 2 / 2 + a 2 / 8 2 a + a

x C M = 3 a 8

Passo 4

Agora fazendo no eixo y

y C M = y 1 ⋅ L 1 + y 2 ⋅ L 2 + y 3 ⋅ L 3 + y 4 ⋅ L 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4

Então teremos

y C M = a / 2 ⋅ a + 0 ⋅ a + a / 4 ⋅ a / 2 + a ⋅ a / 2 2 a + 2 ⋅ a / 2

y C M = a 2 / 2 + a 2 / 8 + a 2 / 2 2 a + a

y C M = 3 a 8

Passo 5

O vetor posição do centro de massa vai ser

r → C M = x C M i ^ + y C M j ^

r → C M = 3 a 8 i ^ + 3 a 8 j ^

A distância do centro de massa até a origem é o módulo do vetor posição, já que o vetor posição parte da origem.

r → C M 2 = 3 a 8 2 + 3 a 8 2

r → C M 2 = 9 a 2 64 + 9 a 2 64

r → C M 2 = 18 a 2 64

r → C M = 3 8 a 2

Resposta

Letra d

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