Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

Colisões, Sistema de Partículas, Trabalho e Energia Cinética

Considere uma colisão perfeitamente inelástica entre dois automóveis de mesma altura h e mesmo comprimento d . O automóvel 1 tem massa m 1 e velocidade de módulo v 1 i imediatamente antes de colidir com o automóvel 2 que tem massa m 2 e está em repouso. A colisão se dá em um intervalo de tempo muito curto. Considere o sistema de coordenadas indicado na figura. Assuma que o centro de massa de cada automóvel está à meia altura e na metade de seu comprimento.

a ) Determine o vetor posição do centro de massa do sistema (dois automóveis) no instante imediatamente antes da colisão.

b ) Determine o vetor velocidade dos destroços imediatamente depois da colisão.

c ) Encontre a expressão literal para a perda de energia cinética durante a colisão. Analise o resultado se m 1 = m 2 .

Passo 1

a )

Para determinar a posição do centro de massa, vamos utilizar o sistema de coordenadas dadas. As componentes ficam então:

x C M = m 1 . x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

y C M = m 1 . y 1 + m 2 . y 2 m 1 + m 2

Vamos primeiro achar a componente x C M :

x C M = m 1 . - 3 d 2 + m 2 . - d 2 m 1 + m 2

x C M = - d 2 . 3 . m 1 + m 2 m 1 + m 2

Agora, vamos encontrar y C M :

y C M = m 1 . h 2 + m 2 . h 2 m 1 + m 2

y C M = h 2 . m 1 + m 2 m 1 + m 2

y C M = h 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Em uma colisão, onde não existem forças externas ao sistema atuando, podemos sempre utilizar a conservação do momento linear. Além disso, o enunciado nos dá uma informação muito importante. Ele diz que a colisão é perfeitamente inelástica, isso significa dizer que os corpos vão ter a mesma velocidade final, ou seja, vão sair juntos. Se liga!

p i → = p f →

m 1 . v 1 → i + m 2 . v 2 i → = m 1 + m 2 . v f →

antes da colisão, o automóvel 2 está parado e o 1 tem velocidade v 1 i em módulo. Montando as equações, temos:

m 1 . v 1 i i ^ + m 2 . 0 = m 1 + m 2 . v f →

Repare que estamos usando a notação vetorial, pois ele nos pede o vetor velocidade final. Pelo vetor v 1 i desenhado no gráfico, fica claro que sua direção e sentido é dada por i ^ . Voltando à equação, temos:

v f → = m 1 . v 1 i m 1 + m 2   ( i ^ )

Passo 3

c ) Para analisar a perda da energia cinética, precisamos calcular a variação da energia cinética do sistema antes e depois da colisão. Então, vamos lá:

Δ K = K f - K i

Δ K = m 1 + m 2 . v f 2 2     - m 1 . v 1 i 2 2 + m 2 . v 2 i 2 2

Parece muito confuso, mas é só lembrar que a velocidade inicial do automóvel 2 é zero, e como já calculamos a velocidade final, é só substituir:

Δ K = m 1 + m 2 . m 1 . v 1 i m 1 + m 2 2 2     - m 1 . v 1 i 2 2 + m 2 . 0 2 2

Δ K = m 1 . v 1 i 2 2 ( m 1 + m 2 ) - m 1 . v 1 i 2 2

Δ K = - m 1 . m 2 . v 1 i 2 2 . m 1 + m 2

Passo 4

Agora vamos analisar o caso em que m 1 = m 2 :

Δ K = - m 1 . m 1 . v 1 i 2 4 . m 1

Δ K = - m 1 . v 1 i 2 4

Podemos ver, nesse caso, que a perda de energia cinética é a metade da energia cinética inicial, pois:

Δ K = - 1 2 . m 1 . v 1 i 2 2 = - 1 2 . K i

Resposta

a )   y C M = m 1 . h 2 + m 2 . h 2 m 1 + m 2 ; y C M = h 2

b ) v f → = m 1 . v 1 i m 1 + m 2   ( i ^ )

c ) Δ K = - m 1 . m 2 . v 1 i 2 2 . m 1 + m 2

Quando m 1 = m 2 , temos uma perda de 50 % da energia cinética.

Δ K = - 1 2 . m 1 . v 1 i 2 2 = - 1 2 . K i

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