Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

PUC - RIO- FIS B 1026– G2 2019.2

Dois blocos, de massas m 1 = 2,00   k g e m 2 = 3,00   k g , movem-se sobre um plano horizontal x y sem atrito com vetores posição dados como função do tempo respectivamente por r → 1   = 6,00   t i ^ + 20,0 j ^   e   r → 2 =   30,0 i ^ + ( 4,00   t ) j ^ , com todas as unidades no SI. (Se julgar necessário, utilize o par de eixos ao lado como auxílio.)

(a) Para o instante t = 2,00   s , encontre, em termos dos vetores unitários, o vetor posição r → C M do centro de massa.

Considerando que os blocos colidem de modo totalmente inelástico, calcule:

(b) o ângulo α entre o vetor velocidade v → do conjunto e o semieixo positivo x .

Considerando uma outra colisão em que o segundo bloco adquire velocidade final   v → 2 f = ( 1,00   m / s ) i ^ + ( 2,00   m / s ) j ^ , calcule:

(c) o vetor velocidade final v → 1 f do primeiro bloco, em termos dos vetores unitários.

Passo 1

a)

Aqui ele pede pra gente calcular a posição do centro de massa m um certo instante. Bom, a posição do centro de massa é dada por

r → C M = r → 1 m 1 + r → 2 m 2 + r → 3 m 3 + … m 1 + m 2 + m 3 + …

Mas como temos só os dois blocos se movimentando,

r → C M = r → 1 m 1 + r → 2 m 2 m 1 + m 2

Vamos substituir os dados do enunciado

r → C M = 6,00   t i ^ + 20,0 j ^   2 + 30,0 i ^ + 4,00   t j ^ 3 2 + 3

Como ele quer r → C M no instante t = 2 s , temos

r → C M = 6,00 × 2 i ^ + 20,0 j ^   2 + 30,0 i ^ + 4,00 × 2 j ^ 3 2 + 3

r → C M = 12 i ^ + 20,0 j ^   2 + 30,0 i ^ + 8 j ^ 3 2 + 3

r → C M = 24 i ^ + 40,0 j ^   + 90,0 i ^ + 24 j ^ 5

Agora, vamos juntar tudo que tá em i ^   e j ^ :

r → C M = 24 + 90,0 i ^   + 40,0 + 24 j ^ 5

r → C M = 114 i ^   + 64 j ^ 5

r → C M = 22,8 i ^ + 12,8 j ^

Tranquilo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Agora, os blocos colidiram de maneira totalmente inelástica, isso quer dizer que no final da colisão eles saem colados!

O momento linear se conserva, afinal não temos forças externas atuando no sistema. Então

p → i = p → f

m 1 v → 1 + m 2 v → 2 = m 1 + m 2 v →

Eita... não sabemos as velocidades nos corpos 1 e 2... E agora? Ah, tudo tranquilo! Podemos descobrir, pois a velocidade é a derivada, em relação ao tempo, da posição.

v → 1 = d r → 1 d t = d 6,00   t i ^ + 20,0 j ^ d t = 6 i ^

Mesma coisa para o corpo 2:

v → 2 = d r → 2 d t = d 30,0 i ^ + ( 4,00   t ) j ^ ,   d t = 4 j ^

Voltando lá na equação de conservação do momento:

m 1 v → 1 + m 2 v → 2 = m 1 + m 2 v →

2 ( 6 i ^ ) + 3 ( 4 j ^ ) = 5 v →

v → = 12 i ^ + 12 j ^ 5

Beleza. Já sabemos o vetor velocidade final. Mas queremos o ângulo que esse vetor faz co o eixo x. Podemos encontra isso através do produto escalar de v → com i ^ .

v → ⋅ i ^ = v → i ^ cos ⁡ α

Mas o produto escalar também é igual ao produto de componente a componente dos vetores:

a → ⋅ b → = a x b x + a y b y

Então no nosso caso:

v → ⋅ i ^ = 12 i ^ + 12 j ^ 5 ⋅ i ^ = 12 5

Beleza, voltando para a outra equação:

v → ⋅ i ^ = v → i ^ cos ⁡ α

12 5 = v → i ^ cos ⁡ α

O i ^ é 1, pois ele é um vetor unitário. E

v → = 12 2 5 2 + 12 2 5 2 = 2 144 25 = 12 5 2  

Então

12 5 = 12 5 2   ( 1 ) cos ⁡ α

Dessa forma

cos ⁡ α = 2 2

Então

α = 45 °

Passo 3

c)

Agora, ao invés deles terem colidido de forma totalmente inelástica, vamos considerar um colisão na qual a velocidade final dos blocos não são iguais. Beleza?

O momento linear se conserva, pois não há força externa.

p → i = p → f

m 1 v → 1 + m 2 v → 2 = m 1 v → 1 f + m 2 v → 2 f

2 ( 6 i ^ ) + 3 ( 4 j ^ ) = 2 v → 1 f + 3 ( 1 i ^ + 2 j ^ )

Então

v → 1 f = 12 i ^ + 12 j ^ - 3 i ^ - 6 j ^ 2

v → 1 f = 4,5 i ^ + 3 j ^

Maravilha!

Resposta

a) r → C M = 22,8 i ^ + 12,8 j ^

b) α = 45 °

c)

v → 1 f = 4,5 i ^ + 3 j ^

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