Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

Sistema de partículas

Uma massa de pizza perfeitamente circular e homogênea tem raio R e massa   M . Se retirarmos dela m pedaço perfeitamente circular com diâmetro R de modo que a massa que resta tem a forma da figura, podemos afirmar que o centro de massa do que restou:

  1. Se deslocou uma distância R / 6 para a esquerda do centro de massa original.
  2. Se deslocou uma distância R / 6 para a direita do centro de massa original.
  3. Se deslocou uma distância R / 2 para a esquerda do centro de massa original.
  4. Se deslocou uma distância R/2 para a direita do centro de massa original.
  5. Está na mesma posição do centro de massa original.

Passo 1

Bom galera, o primeiro passo pra entender isso, é notar que:

Legal? Guarda isso ai, e lembre-se que queremos calcular o centro de massa da primeira figura.

Mas vamos escrever isso matematicamente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, a ideia é que a posição do centro de massa da primeira massa mais a posição do centro de massa da segunda massa, a bolinha, é igual ao centro da esferona.

Bom, vamos estabelecer um eixo x com a origem no centro da esfera completa. Mais ou menos assim:

Assim, o centro de massa da massa maior é:

C M = 0

Beleza? Agora vamos tirar proveito da informação que o enunciado dá ao dizer que a massa de pizza é homogênea pra calcular a relação entre as massas.

Bom, a densidade da massa é constante, então:

m = ρ A

Onde A é a área da massa. Assim, a massa completa, o terceiro circulo da nossa equação de desenhos, é dada por:

M = ρ R 2 π = ρ π R 2

E a massa da massinha é dada por:

m = ρ R 2 2 π = ρ π R 4 2 = m i i

Então:

M = 4 m

Além do mais, a massa que tem um buraco, a que a gente quer calcular o centro de massa, é:

m i = 4 m - m = 3 m

Show?

Vamos continuar.

Passo 3

Bom, então podemos escrever a equação do centro de massa da massa completa como a média ponderada entre a massa que tem um buraco e a massa pequena:

C M = C M i . m i + C M i i m i i M

Show? Então, como isso é igual a zero:

0 = C M i . m i + C M i i m i i M → C M i . m i + C M i i m i i = 0

Nós queremos achar C M i . Porém, nós sabemos que o centro da outra massa é:

C M i i = + R 2

Assim:

C M i . m i + C M i i m i i = 0

C M i . m i = - C M i i m i i

C M i 3 m = - R 2 . m → C M i = - R 6

Beleza? Como está negativo, quer dizer que o centro de massa se deslocou R 6 pra esquerda(de acordo com o eixo que adotamos).

Então:

a)

Resposta

a)

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