Um biólogo colocou três espécies de bactérias (denotadas por I, II e III) num tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). Em cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 1500 unidades de A, 3000 unidades de B e 4500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia, como mostra a tabela. Quantas bactérias podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento?

Passo 1

Vamos chamarde x a bactéria I, y a bactéria II e z a bactéria III.

Com os valores dados no enunciado e os coeficientes da tabela, construímos o sistema:

x + y + z = 1500 x + 2 y + 3 z = 3000 x + 3 y + 5 z = 4500

Boaa, agora é só resolver esse sistema pra vermos quantas bactérias podemos ter no tubo para consumir todo o alimento hehe

Passo 2

Escrevendo nosso sistema como uma matriz aumentada:

1 1 1 1 2 3 1 3 5 1500 3000 4500

Agora vamos escalonar:

L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1         1 1 1 0 1 2 0 2 4 1500 1500 3000

L 3 → L 3 - 2 L 2   1 1 1 0 1 2 0 0 0 1500 1500 0

Opa, uma das linhas foi anulada, vamos voltar pro sistema pra ver o que fazemos.

Passo 3

Voltando ao sistema com os novos coeficientes:

x + y + z = 1500 y + 2 z = 1500 0 = 0

Bom, se uma das linhas foi anulada, já sabemos que uma das respostas vai ser um parâmetro.

Escolhendo z como parâmetro, vamos isolar y na segunda linha e assim teremos

y = 1500 - 2 z

Substituindo na primeira linha:

x + 1500 - 2 z + z = 1500

x - z = 0

x = z

Então:

x ,   y ,   z = ( z ,   1500 - 2 z ,   z )

Logo, nesse sistema, z pode assumir qualquer valor, enquanto x e y variam em função dele. Temos infinitas soluções :D

Resposta

x ,   y ,   z = ( z ,   1500 - 2 z ,   z )

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22