Mostre que o conjunto solução do sistema :

x - 2 y = 3 3 x + y = 1

não irá se alterar se acrescentarmos a equação 2 x + 3 y = ___ (não resolva o sistema!)

Passo 1

No enunciado foram dadas duas equações com duas incógnitas.

Neste problema, queremos encontrar outra equação para o sistema de modo que o conjunto solução não sofra mudanças.

Temos que lembrar que como vamos ter 3 equações para 2 incógnitas, a terceira equação será obrigatoriamente uma C o m b i n a ç ã o   L i n e a r das outras, desse modo, as equações vão ser equivalentes. Para resolver utilizaremos apenas os coeficientes das equações.

Passo 2

Utilizando APENAS os coeficientes:

Vamos escrever os vetores dos coeficientes das equações que temos

x - 2 y = 3             ⇒             ( 1 , - 2 )

3 + y = 1             ⇒             ( 3,1 )

Escrevendo o vetor que corresponde aos coeficientes que queremos obter:

2 x + 3 y             ⇒           ( 2,3 )

Agora vamos escrever uma combinação linear dos dois vetores do sistema e igualar com os da equação que queremos obter. Iremos fazer isso para obter a combinação linear de todos os coeficientes do sistema, beleza?!

a 1 , - 2 + b 3,1 = 2,3

Beleza?!

Desse modo temos nossa combinação linear dos coeficientes do sistema!

Passo 3

Vamos encontrar os valores de a e b :

Da combinação linear obtemos duas equações:

a 1 , - 2 + b 3,1 = 2,3

a , - 2 a + 3 b , b = 2,3

a + 3 b , - 2 a + b = 2,3

a + 3 b = 2

- 2 a + b = 3

Fazendo as continhas, obtemos:

a = - 1     e   b = 1

Ok, podemos ver que a = - 1 ,   b = 1 irá satisfazer a equação. Assim, para ela ser verdadeira, devemos impor essas condições igual ao que temos no enunciado. Para isso, vamos utilizar a equação que queremos incluir   2 x + 3 y e fazer a combinação linear utilizando os valores de a e b encontrados.

A primeira equação é igual a 3 e a segunda igual a 1, então vamos escrever uma combinação linear entre esses valores e a   e   b :

2 x + 3 y = 3 a + 1 b

2 x + 3 y = - 3 + 1 = - 2

É só pensar na matriz dos coeficientes, beleza?! Se tivermos uma linha redundante, podemos eliminá-la na hora do escalonamento, e não influenciará em nada a solução do nosso sistema :D

Resposta

- 2

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22