Classifique as afirmativas abaixo:

  1. Existem dois números positivos tais que a razão entre a sua diferença e a sua soma é igual à razão entre eles.
  2. Existem dois números positivos tais que a razão entre a sua soma e a sua diferença é igual à razão entre eles.
  1. I é falsa e II é verdadeira.
  2. Ambas são falsas.
  3. I é verdadeira e II é falsa.
  4. Ambas são verdadeiras.

Passo 1

Xuxu beleza galerinha, vamos analisar cada uma das duas afirmativas e ver se elas são verdadeiras ou falsas. Saca só, na primeira, ele diz que existem dois números positivos tais que a razão entre a sua diferença e a sua soma é igual à razão entre eles.

Perai então, primeiro vamos escrever isso em matematiquês. Vamos chamar esses dois números positivos, de x e y .

Logo se eles são positivos, então, x > 0 e y > 0 . Sabendo disso, temos que a soma deles é:

x + y

Enquanto a diferença entre eles é:

x - y

Portanto, a razão entre a diferença e a soma é:

x - y x + y

O enunciado diz pra gente que essa razão, vai ser igual a razão entre os números. Como colocamos o " x "   antes do " y " , então colocaremos ele no numerador, dessa forma a razão entre eles é:

x y

Passo 2

Belezoca, igualando os termos que a gente encontrou no Passo 1, temos que:

x - y x + y = x y

Passando o x + y multiplicando do outro lado, temos:

x - y = x y x + y

Agora aplicando a distributiva:

x - y = x 2 y + x y y

x - y = x 2 y + x

x - x = x 2 y + y

x 2 y + y = 0

E se a gente multiplicar tudo por " y " , temos:

x 2 y y + y ² = 0 y

x 2 + y 2 = 0

Só que essa equação só vai ter solução se x = y = 0 , MAAASSSS o enunciado diz que x e y são positivos, logo eles não podem ser iguais a 0 . Dessa forma nossa afirmativa (I) é Falsa.

Passo 3

Xuxu beleza então, agora a gente precisa analisar a segunda afirmativa, que diz que existem dois números positivos tais que a razão entre a sua soma e a sua diferença é igual à razão entre eles. Que é quase o contrário da outra afirmativa, só que agora queremos a razão entre a soma e a diferença, logo:

x y = x + y x - y

Passando o x - y pro outro lado multiplicando, temos:

x y x - y = x + y

x 2 y - x = x + y

x 2 y - 2 x - y = 0

Show de bolinhas, agora bora multiplicar tudo por " y " pra tirar ele do denominador, logo;

x 2 - 2 x y - y 2 = 0

Passo 4

E esse polinômio que a gente encontrou aí, é MUUITOOO parecido com um produto notável que a gente conhece né não, o famoso:

A não ser que o sinal ali do trocado. Nossa equação é:

x 2 - 2 x y - y 2

Só que o produto notável de sinal trocado é:

Mas como a gente é malandro, vamos fazer envolver essas duas equações desse jeito:

x 2 - 2 x y - y 2 = x 2 - 2 x y + y 2 ⏝ x - y 2 - 2 y 2

Logo:

x 2 - 2 x y - y 2 = x - y 2 - 2 y 2

Portanto podemos reescrever a nossa equação como:

x - y 2 - 2 y 2 = 0

x - y 2 = 2 y 2

E tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:

x - y = 2 y

Logo:

x = 2 y + y

x = y 2 + 1

Então quer dizer que sim, existem dois números positivos, tal que a razão entre a soma e a diferença é igual a razão entre ele. Pra gente ter certeza mesmo, vamos testar rsrs suponha que y = 1 , então:

x = 1 2 + 1

x = 2 + 1

Então as razões ficam assim?

x y = x + y x - y

2 + 1 1 = 2 + 1 + 1 2 + 1 - 1

2 + 1 = 2 + 2 2

2 + 1 = 2 2 + 2 2

2 + 1 = 1 + 2

Então agora a gente tá de boinhas, quer dizer que a (I) é falsa e (II) é verdadeira. Afirmativa (a).

Resposta

Letra (a).

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22