Considere o sistema linear de equações

x + y + z = 1 2 x - y + z = 0 x + 4 y + a z = d

  1. Determine a e d para que o sistema tenha infinitas soluções.
  2. Determine a e d para que o sistema não tenha solução.
  3. Ache a solução do sistema quando a = 1 e d = 0 .

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, o enunciado deu pra gente o sistema linear:

x + y + z = 1 2 x - y + z = 0 x + 4 y + a z = d

E ele quer que encontremos valores de a e d que satisfaça determinadas condições sobre suas soluções.

Tipo na letra (a), queremos determinar a   e d para que o sistema tenha infinitas soluções. Mas como queremos informações sobre a solução, devemos escalonar o sistema pra ver se ele é isso tudo mesmo.

Passo 2

Então saca só, pra escalonar um sistema, primeiro devemos passar ele pra forma matricial, logo:

x + y + z = 1 2 x - y + z = 0 x + 4 y + a z = d = 1 1 1 2 - 1 1 1 4 a 1 0 d

Escalonando a segunda linha, temos:

1 1 1 2 - 1 1 1 4 a 1 0 d ⇒   L 2 = L 2 - 2 L 1   = 1 1 1 0 - 3 - 1 1 4 a 1 - 2 d

Agora para a terceira linha, temos:

1 1 1 0 - 3 - 1 1 4 a 1 - 2 d ⇒       L 3 = L 3 - L 1 = 1 1 1 0 - 3 - 1 0 3 a - 1 1 - 2 d - 1

1 1 1 0 - 3 - 1 0 3 a - 1 1 - 2 d - 1 ⇒   L 2 = - L 2   = 1 1 1 0 3 1 0 3 a - 1 1 2 d - 1

E agora ficou divertido nossa matriz, podemos manipular os resultados de acordo com o que queremos. Por exemplo, na letra(a), queremos que o sistema tenha infinitas soluções, e isso acontece quando temos linhas iguais, portanto no nosso sistema

1 1 1 0 3 1 0 3 a - 1 1 2 d - 1

Se tivermos alguma linha repetida, então o sistema terá infinitas soluções. Então com toda malandragem do mundo, podemos pensar se as duas últimas linhas fossem iguais então teríamos infinitas soluções, e igualando os termos, temos:

a - 1 = 1 ⇒ a = 2

d - 1 = 2 ⇒ d = 3

Logo, para o sistema possuir infinitas soluções precisaríamos que a = 2 e d = 3 .

Passo 3

Agora na letra (b), queremos determinar os valores de a e d para que o sistema não tenha solução. E isso acontece por exemplo quando temos alguma inconsistência, ou algum absurdo. Vamos dar mais uma brincada na nossa matriz pra ver se encontramos alguma coisa:

1 1 1 0 3 1 0 3 a - 1 1 2 d - 1 ⇒       L 3 = L 3 - L 2 = 1 1 1 0 3 1 0 0 a - 2 1 2 d - 3

E agora pensa comigo, se por acaso tivéssemos a = 2 , então:

1 1 1 0 3 1 0 0 a - 2 1 2 d - 3 = 1 1 1 0 3 1 0 0 2 - 2 1 2 d - 3 = 1 1 1 0 3 1 0 0 0 1 2 d - 3

Logo, na última linha tiramos que:

0 = d - 3

MAASS, então se por acaso tivéssemos um d ≠ 3 , por exemplo d = 4 , então teríamos:

0 = 4 - 3

0 = 1

Então se caso a = 2 e d ≠ 3 o nosso sistema não tem solução.

Passo 4

E na letra (c), queremos encontrar a solução quando a = 1 e d = 0 . E aproveitando nosso último escalonamento, temos:

1 1 1 0 3 1 0 0 a - 2 1 2 d - 3

E substituindo os valores:

1 1 1 0 3 1 0 0 1 - 2 1 2 0 - 3 = 1 1 1 0 3 1 0 0 - 1 1 2 - 3

Logo, da última linha, temos que:

- z = - 3

z = 3

E na segunda linha:

3 y + z = 2

3 y + 3 = 2

3 y = - 1

y = - 1 3

E para a primeira linha:

x + y + z = 1

x - 1 3 + 3 = 1

x = 1 - 3 + 1 3

x = - 5 3

Portanto, a solução é:

x = - 5 3 ,     y = - 1 3 ,     z = 3

Resposta

  1. a = 2 ,     d = 3
  2. a = 2 ,     d ≠ 3
  3. x = - 5 3 ,     y = - 1 3 ,     z = 3

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22