Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método:

c)

2 x + 2 y + 4 z = 0

w - y - 3 z = 0

2 w + 3 x + y + z = 0

- 2 w + x + 3 y - 2 z = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado fala que podemos resolver o sistema por qualquer método. Então, vamos resolver pelo método da eliminação gaussiana.

A primeira coisa que temos que fazer é escrever a matriz aumentada do sistema:

0 2 2 4 0 1 0 - 1 - 3 0 2 3 1 1 0 - 2 1 3 - 2 0

Vamos chamar a linha de L e escrever cada operação entre uma matriz e outra na forma:

L   q u e   s e r á   a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

Para dar mais fluidez ao exercício. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar zerando os elementos da primeira coluna. Vamos fazer:

0 2 2 4 0 1 0 - 1 - 3 0 2 3 1 1 0 - 2 1 3 - 2 0 ⟶ L 3 → L 3 - 2 L 2 0 2 2 4 0 1 0 - 1 - 3 0 0 3 3 7 0 - 2 1 3 - 2 0

Vamos zerar o último elemento da primeira coluna:

0 2 2 4 0 1 0 - 1 - 3 0 0 3 3 7 0 - 2 1 3 - 2 0 ⟶ L 4 → L 4 + 2 L 2 0 2 2 4 0 1 0 - 1 - 3 0 0 3 3 7 0 0 1 1 - 8 0

Agora vamos trocar a linha 2 com a linha 1:

0 2 2 4 0 1 0 - 1 - 3 0 0 3 3 7 0 0 1 1 - 8 0 ⟶ L 2 ↔ L 1 1 0 - 1 - 3 0 0 2 2 4 0 0 3 3 7 0 0 1 1 - 8 0

E também trocar a linha 2 com a linha 4, para termos o pivô 1 na diagonal principal:

1 0 - 1 - 3 0 0 2 2 4 0 0 3 3 7 0 0 1 1 - 8 0 ⟶ L 2 ↔ L 1 1 0 - 1 - 3 0 0 1 1 - 8 0 0 3 3 7 0 0 2 2 4 0

Passo 3

Agora precisamos zerar os elementos abaixo da diagonal principal. Vamos multiplicar a linha 2 por - 3 e somar com a linha 3:

1 0 - 1 - 3 0 0 1 1 - 8 0 0 3 3 7 0 0 2 2 4 0 ⟶ L 3 → L 3 - 3 L 2 1 0 - 1 - 3 0 0 1 1 - 8 0 0 0 0 31 0 0 2 2 4 0

E em seguida, multiplicar a linha 2 por - 2 e somar com a linha 4:

1 0 - 1 - 3 0 0 1 1 - 8 0 0 0 0 31 0 0 2 2 4 0 ⟶ L 4 → L 4 - 2 L 2 1 0 - 1 - 3 0 0 1 1 - 8 0 0 0 0 31 0 0 0 0 20 0

Agora já dá pra gente escrever nosso sistema linear de novo e obter alguns resultados. Fica assim:

20 z = 0 → z = 0

x + y - 8 z = 0

Substituindo z = 0 :

x + y = 0

x = - y

Da primeira linha, temos:

w - y - 3 z = 0

w - y = 0

w = y

Agora, nós podemos expressar a solução geral do sistema parametricamente, associando o valor arbitrário t a variável y . Dessa forma,

y = t

E temos:

w = t

x = - t

y = t

z = 0

Encontramos a solução geral do nosso sistema. Valeu, galera! 😉

Resposta

w ,   x ,   y ,   z = t , - t ,   t , 0

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22