A última equação do sistema linear abaixo é uma combinação das três primeiras. A soma dos coeficientes dessa combinação é:

x + y + z + w = 0 2 x - y + 3 z - w = 0 9 x + 6 y - 3 z + 3 w = 0 2 x - 7 y + 5 z - 7 w = 0

(a) 3

(b) −1

(c) 0

(d) 2

Passo 1

Bom vamos montar essa combinação linear que ele tá falando pra gente no enunciado.

Pô, mas como vou fazer uma combinação linear de equações?

É só eu pegar os vetores em que as coordenadas são os coeficientes:

x + y + z + w = 0     →     1,1 , 1,1

2 x - y + 3 z - w = 0       →       2 , - 1,3 , - 1

9 x + 6 y - 3 z + 3 w = 0       →       9,6 , - 3,3

2 x - 7 y + 5 z - 7 w = 0       →       2 , - 7,5 , - 7

Repara que se eu tivesse valores diferentes de 0 do outro lado das equações, eu deveria adicionar esses valores como últimas coordenadas dos meus vetores!

Passo 2

Passo 3

Beleza, vamos escrever a C L :

2 , - 7,5 , - 7 = a 1,1 , 1,1 + b 2 , - 1,3 , - 1 + c 9,6 , - 3,3

2 , - 7,5 , - 7 = a + 2 b + 9 c , a - b + 6 c , a + 3 b - 3 c , a - b + 3 c

a + 2 b + 9 c = 2 a - b + 6 c = - 7 a + 3 b - 3 c = 5 a - b + 3 c = - 7

Opa, chegamos a outro sistema!! Vamos resolver esse aí!

Passo 4

Passando para matriz aumentada:

1 1 1 1 2 - 1 3 - 1 9 6 - 3 3 2 - 7 5 - 7

Vamos escalonar:

1 1 1 1 2 - 1 3 - 1 9 6 - 3 3 2 - 7 5 - 7 → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1 L 4 → L 4 - L 1 1 0 0 0 2 - 3 1 - 3 9 - 3 - 12 - 6 2 - 9 3 - 9 → L 2 ↔ L 3 1 0 0 0 2 1 - 3 - 3 9 - 12 - 3 - 6 2 3 - 9 - 9 → L 3 → L 3 + 3 L 2 L 4 → L 4 + 3 L 2

1 0 0 0 2 1 0 0 9 - 12 - 39 - 42 2 3 0 0 → L 4 → L 4 - 14 13 L 3 1 0 0 0 2 1 0 0 9 - 12 - 39 0 2 3 0 0

Daí, voltando para as equações:

a + 2 b + 9 c = 2 b - 12 c = 3 - 39 c = 0

Assim, c = 0 ,   b = 3 ,   a = - 4 e a soma será igual a - 1 .

Resposta

b

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22