Nos itens abaixo, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada. Resolva o sistema.

c)

1 7 - 2 0 - 8 - 3 0 0 1 1 6 5 0 0 0 1 3 9 0 0 0 0 0 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Precisamos resolver o sistema. O enunciado foi bonzinho e já nos deu a matriz escalonada, então basta nós transformarmos essa matriz aumentada em sistema linear de novo e calcular as variáveis. Vamos lá!

Trazendo para o formato de sistema linear, temos:

1 ∙ x 1 + 7 ∙ x 2 - 2 ∙ x 3 + 0 ∙ x 4 - 8 ∙ x 5 = - 3 0 ∙ x 1 + 0 ∙ x 2 + 1 ∙ x 3 + 1 ∙ x 4 + 6 ∙ x 5 = 5 0 ∙ x 1 + 0 ∙ x 2 + 0 ∙ x 3 + 1 ∙ x 4 + 3 ∙ x 5 = 9 0 ∙ x 1 + 0 ∙ x 2 + 0 ∙ x 3 + 0 ∙ x 4 + 0 ∙ x 5 = 0

A última equação, que é uma linha de zeros, pode ser omitida, porque não impõe restrições sobre as variáveis. Logo, o sistema linear correspondente é:

x 1 + 7 x 2 - 2 x 3                     - 8 x 5 = - 3                                           x 3 + x 4 + 6 x 5 = 5                                                               x 4 + 3 x 5 = 9

Vamos manipular um pouquinho as equações para encontrar nossa solução.

Passo 2

Vamos pegar a última equação do sistema:

x 4 + 3 x 5 = 9

Com o objetivo de expressar nosso conjunto de soluções parametricamente, vamos associar o valor arbitrário t à variável x 5 e s a variável x 2 , e escrever todo mundo em função desses parâmetros. Assim,

x 2 = s

x 5 = t

Resolvendo a última equação do sistema:

x 4 = 9 - 3 x 5

x 4 = 9 - 3 t

Passo 3

Pegando agora nossa segunda equação, temos:

x 3 + x 4 + 6 x 5 = 5

Colocando em função dos parâmetros:

x 3 = - x 4 - 6 x 5 + 5

Substituindo x 4 :

x 3 = - 9 - 3 t - 6 t + 5

x 3 = - 9 + 3 t - 6 t + 5

x 3 = - 4 - 3 t

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa para x 1 :

x 1 + 7 x 2 - 2 x 3 - 8 x 5 = - 3

Vamos substituir o resultado de x 3 e os demais parâmetros:

x 1 = - 3 - 7 s + 2 - 4 - 3 t + 8 t

x 1 = - 3 - 7 s - 8 - 6 t + 8 t

x 1 = - 7 s + 2 t - 11

Perceba que nosso sistema tem infinitas soluções, que podem ser encontradas atribuindo valores arbitrários as essas equações paramétricas, que descrevem nosso conjunto solução.

Resposta

x 1 = - 7 s + 2 t - 11

x 2 = s

x 3 = - 4 - 3 t

x 4 = 9 - 3 t

x 5 = t

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22