Nos itens abaixo, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada. Resolva o sistema.

b)

1 0 8 - 5 6 0 1 4 - 9 3 0 0 1 1 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Precisamos resolver o sistema. O enunciado foi bonzinho e já nos deu a matriz escalonada, então basta nós transformarmos essa matriz aumentada em sistema linear de novo e calcular as variáveis. Vamos lá!

Trazendo para o formato de sistema linear, temos:

1 ∙ x 1 + 0 ∙ x 2 + 8 ∙ x 3 - 5 ∙ x 4 = 6 0 ∙ x 1 + 1 ∙ x 2 + 4 ∙ x 3 - 9 ∙ x 4 = 3 0 ∙ x 1 + 0 ∙ x 2 + 1 ∙ x 3 - 1 ∙ x 4 = 2

x 1 +                     8 x 3 - 5 x 4 = 6                     x 2 + 4 x 3 - 9 x 4 = 3                                                   x 3 - x 4 = 2

Vamos manipular um pouquinho as equações para encontrar nossa solução.

Passo 2

Vamos pegar a última equação do sistema:

x 3 - x 4 = 2

Com o objetivo de expressar nosso conjunto de soluções parametricamente, vamos associar o valor arbitrário t à variável x 4 e escrever todo mundo em função dela. Assim,

x 4 = t

x 3 = 2 - x 4

x 3 = 2 - t

Passo 3

Pegando agora nossa segunda equação, temos:

x 2 + 4 x 3 - 9 x 4 = 3

Colocando em função de x 4 :

x 2 = 3 - 4 x 3 + 9 x 4

Substituindo para o parâmetro t :

x 2 = 3 - 4 x 3 + 9 t

Vamos usar o resultado de x 3 do passo 2 :

x 2 = 3 - 4 2 - t + 9 t

x 2 = 3 - 8 + 4 t + 9 t

x 2 = - 5 + 13 t

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa para x 1 :

x 1 + 8 x 3 - 5 x 4 = 6

Vamos usar o resultado de x 3 do passo 2 novamente:

x 1 + 8 2 - t - 5 t = 6

Isolando x 1 :

x 1 = 6 - 16 + 8 t + 5 t

x 1 = - 10 + 13 t

Perceba que nosso sistema tem infinitas soluções, que podem ser encontradas atribuindo valores arbitrários as essas equações paramétricas, que descrevem nosso conjunto solução.

Resposta

x 1 = - 10 + 13 t

x 2 = - 5 + 13 t

x 3 = 2 - t

x 4 = t

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22