Considere A x = b , onde A é m × 2 , e seja G x = c a forma escalonada. Assinale a afirmativa FALSA:

( a ) Se b = α a 1 + β a 2 então c = α g 1 + β g 2

( b ) Se b ∉ 〈 a 1 , a 2 〉 então c ∉ g 1 , g 2

( c ) a 1 , a 2 = g 1 , g 2

( d ) Se a 1 = α a 2 então g 1 = α g 2

Passo 1

Antes de começarmos vamos entender o que cada coisa aí significa! Bom, temos uma matriz A com m linhas e 2 colunas. Não ficou bem especificado, mas esses 2 vetores colunas são os vetores a 1 e a 2 que aparecem nas alternativas! Então:

A = ↑ ↑ a 1 a 2 ↓ ↓

Logo, nosso sistema fica:

↑ ↑ a 1 a 2 ↓ ↓ x = b

Da mesma forma, nossa matriz G depois do escalonamento terá m linhas e 2 colunas com vetores colunas dados por g 1 e g 2 :

G = ↑ ↑ g 1 g 2 ↓ ↓

E nosso sistema escalonado fica:

↑ ↑ g 1 g 2 ↓ ↓ x = c

Passo 2

Beleza, essa nós matamos de cara porque já sabemos da teoria que o espaço gerado pelas colunas de uma matriz antes e depois do escalonamento se altera! O que se mantém inalterado é o espaço gerado pelas linhas, logo a 1 , a 2 ≠ g 1 , g 2 ! Mas vamos ver as outras alternativas também.

Passo 3

a Se definirmos nosso vetor x como α , β , o que ele está dizendo é que para esses dois sistemas:

↑ ↑ a 1 a 2 ↓ ↓ α β = b

↑ ↑ g 1 g 2 ↓ ↓ α β = c

Temos o mesmo vetor solução α , β . E é claro que isso é verdade, já que achar esse vetor solução α , β mais facilmente é um dos objetivos do escalonamento. Não faria sentido se ele se alterasse.

Passo 4

b Essa ta dizendo que b ∉ 〈 a 1 , a 2 〉 , ou seja, b não está no espaço gerado pelas colunas de A , que significa que ele não está na imagem de A . Se ele não pertence à imagem de A então o sistema não tem solução.

Se o sistema não tem solução, escalonar não vai fazer ele ter solução magicamente. A menos que você tenha escalonado errado haha. Então de fato c ∉ g 1 , g 2 .

Passo 5

d Essa ta dizendo que se temos uma coluna múltipla da outra por uma razão α , continuaremos tendo uma coluna múltipla da outra por essa mesma razão α depois do escalonamento. Essa não tem muita coisa pra provar, sabemos que é verdade né? É só testar aí que você vai ver.

Resposta

Letra ( c ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22