Enunciado

Quais valores de α e β fazem com que o sistema linear a seguir tenha solução única?

- 2 - 1 - 1 2 4 7 1 - 5 - 8 6 - 9 + α 6 2 - 4 2 - 6 x y z w = - 3 9 - 9 + β - 4

( a ) α ≠ 2 , β = 3

( b ) α = 4 , β ≠ 4

( c ) α ≠ 2 , β ∈ R

( d ) α ≠ 3 , β ∈ R

Passo 1

Com o sistema desse jeito não dá pra dizermos muita coisa, então vamos escalonar a matriz aumentada e ver o que acontece:

- 2 - 1 - 1 2 4 7 1 - 5 - 8 6 - 9 + α 6 2 - 4 2 - 6 - 3 9 - 9 + β - 4 → L 2 ← L 2 + 2 L 1 L 3 ← L 3 - 4 L 1 L 4 ← L 4 + L 1 - 2 - 1 - 1 2 0 5 - 1 - 1 0 10 - 5 + α - 2 0 - 5 1 - 4 - 3 3 3 + β - 7 → L 3 ← L 3 - 2 L 2 L 4 ← L 4 + L 2 - 2 - 1 - 1 2 0 5 - 1 - 1 0 0 - 3 + α 0 0 0 0 - 5 - 3 3 - 3 + β - 4

Para que o sistema tenha solução única, precisamos ter o mesmo número de equações e variáveis no nosso sistema, e nenhuma equação pode ser incompatível ou redundante. Em linguagem de matriz, precisamos ter o mesmo número de linhas e colunas, e nenhuma linha ser L D .

Para isso, aquela linha do α não pode zerar! Se ela zerasse, teríamos uma linha L D já que ela teria sido zerada no escalonamento. Então:

α ≠ 3

A única importância do β nesse problema seria para não termos equações incompatíveis. Como por exemplo:

x + y = 1 x + y = 2

Mas nesse problema não importa o valor que escolhamos para β , isso nunca vai acontecer! Então ele pode ser qualquer real.

Logo, α ≠ 3 , β ∈ R .

Resposta

Letra ( d )

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