Enunciado

Considere o sistema linear

1 2 - 1 1 - 1 0 2 1 - 1 ∙ x y z = - 2   2 0

  1. Encontre todas as soluções do sistema homogêneo associado e represente este espaço de soluções como um espaço gerado.
  2. Verifique que ( 1 , - 1,1 ) é solução do sistema não-homogêneo acima.
  3. Enconte todas as soluções e represente-as como um espaço gerado deslocado da origem.

Passo 1

Letra ( a ) : Primeiro escrevemos o sistema homogêneo:

1 2 - 1 1 - 1 0 2 1 - 1 ∙ x y z = 0   0 0

Passo 2

Multiplicando as matrizes e igualando os elementos, temos o sistema:

x + 2 y - z = 0   ( I ) x - y + 0 z = 0 ⇒ x = y   ( I I ) 2 x + y - z = 0   ( I I I )

Passo 3

Substituindo a equação ( I I ) nas equações ( I ) e ( I I I ) , temos o sistema:

x + 2 x - z = 0 2 x + x - z = 0

{ 3 x - z = 0 ⇒ z = 3 x

Passo 4

Então, o vetor solução desse sistema é o vetor que possui x = x na primeira coordenada, y = x na segunda coordenada e z = 3 x na terceira coordenada. Logo, nosso vetor é:

x , x , 3 x = x ( 1,1 , 3 )

Sendo S 0 a solução do sistema homogêneo, então S 0 = s p a n { 1,1 , 3 }

Passo 5

Letra ( b ) : para verificar se o vetor ( 1 , - 1,1 ) é solução do sistema, basta substitui-lo na forma matricial ou no sistema linear gerado. No caso, a multiplicação de matrizes fica:

1.1 - 1.2 + 1 . ( - 1 ) = - 2 1.1 - 1 . - 1 + 1.0 = 2 1.2 - 1.1 + 1 . ( - 1 ) = 0

Como a multiplicação satisfez a equação matricial, o vetor realmente é solução do sistema.

Passo 6

Letra ( c ) : o que o problema quer dizer com todas as soluções seria a solução geral, que é:

S b = v 0 + S 0

No caso:

S 0 = s p a n { 1,1 , 3 }

v 0 = ( 1 , - 1,1 )

E então:

S b = 1 , - 1,1 + s p a n { 1,1 , 3 }

Resposta

  1. S 0 = s p a n 1,1 , 3
  2. 1 , - 1,1 é solução
  3. S b = 1 , - 1,1 + s p a n { 1,1 , 3 }

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