{ s ( − 3 ,   0 ,   3 )   +   t ( 0 ,   − 2 ,   3 ) ,   s ,   t   ∈   R } pode ser descrito como o conjunto das triplas ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3   tais que:

(A)   − 3   x   −   6   y   −   3   z   =   0 .

(B) − 3   x   −   6   y   −   3   z   =   0

(C)   − 5   x   −   8   y   −   5   z   =   0 .

(D) − 6   x   −   9   y   −   6   z   =   0 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez descrever o conjunto   { s ( − 3 ,   0 ,   3 )   +   t ( 0 ,   − 2 ,   3 ) ,   s ,   t   ∈   R } como uma equação nas coordenadas dos vetores.

E aí, como fazemos isso? Bem note que qualquer ponto desse plano é definido como

  { ( − 3 s , - 2 t ,   3 s + 3 t ) ,   s ,   t   ∈   R }

Logo só precisamos substituir esses valores de x , y   e   z nas equações disponibilizadas nas alternativas e verificar onde a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Começando pela primeira equação

− 3   x   −   6   y   ���   3   z   =   0

Como os pontos do plano são ( − 3 s , - 2 t ,   3 s + 3 t ) , vamos substituir. Fazendo isso temos:

  9 s + 12 t - 9 s - 9 t   =   0

⇒ 3 t = 0

Note que essa igualdade não é verdadeira para todo t , logo existem pontos do plano que não satisfazem a equação na alternativa a )

Passo 3

Vamos checar a quarta equação

− 6   x   −   9   y   −   6   z   =   0

o os pontos do plano são ( − 3 s , - 2 t ,   3 s + 3 t ) , vamos substituir. Fazendo isso temos:

  18 s + 18 t - 18 s - 18 t   =   0

⇒ 0 = 0

Ou seja, chegamos a uma igualdade que é sempre verdadeira, independentemente de s ,   e   t . Logo essa expressão é válida para todos os pontos do plano. Ela descreve o plano.

Dessa forma, podemos concluir que a alternativa correta é a letra d )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22