Considere o sistema de equações lineares

x - 2 y + k z = - 1 2 x - 2 y + ( 3 + 2 k ) z = 2 4 x - 10 y + k 2 z = k - 9

Onde k é um número real.

(a) Obtenha uma forma escalonada para a matriz aumentada do sistema acima.

(b) Com base na matriz obtida no item (a), determine para quais valores de k o sistema não admite solução, para quais admite uma única solução, e para quais valores admite infinitas soluções.

(c) Determine as soluções do sistema no caso em que k = 1 e as escreva na forma vetorial paramétrica.

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho?

Para iniciar essa questão temos que saber converter sistema de equações para matrizes. Cada valor associado às incógnitas x , y e z correspondem a uma coluna da matriz em sua respectiva linha e os termos do lado direito da equação correspondem a última coluna da matriz.

A partir da matriz obtida vamos escalona-la na forma reduzida para obter os valores de x , y e z , assim vamos analisar os resultados para obter os possíveis valores para k onde o sistema não admite solução, para quais admite uma única solução e para quais valores de k o sistema admite infinitas soluções.

Por fim, vamos pegar os valores da incógnita x , y e z , substituir k = 1 e escrever o resultado na forma vetorial paramétrica.

Entendeu? Bora lá!

Passo 2

No item a), vamos escalonar a matriz correspondente às equações lineares

x - 2 y + k z = - 1 2 x - 2 y + ( 3 + 2 k ) z = 2 4 x - 10 y + k 2 z = k - 9

No caso

1 - 2 k - 1 2 - 2 3 + 2 k 2 4 - 10 k 2 k - 9

Bora lá! Mão na massa

1 - 2 k - 1 2 - 2 3 + 2 k 2 4 - 10 k 2 k - 9 L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - 4 L 1

1 - 2 k - 1 0 2 3 4 0 - 2 k 2 - 4 k k - 5 L 1 → L 1 + L 2 L 3 → L 3 + L 2

* 1 0 k + 3 3 0 2 3 4 0 0 k 2 - 4 k + 3 k - 1 L 3 → L 3 k 2 - 4 k + 3

Vamos usar esta matriz mais tarde.

1 0 k + 3 3 0 2 3 4 0 0 1 k - 1 k 2 - 4 k + 3 → 1 0 k + 3 3 0 2 3 4 0 0 1 k - 1 k - 1 k - 3

Nesta última etapa, simplificamos o coeficiente associado à variável z para facilitar nossos cálculos.

1 0 k + 3 3 0 2 3 4 0 0 1 1 k - 3 L 1 → L 1 k + 3 - L 3 L 2 → L 2 - 3 L 3

1 0 0 3 k + 3 - 1 k - 3   0 2 0 4 - 3 k - 3 0 0 1 1 k - 3 L 2 → L 2 2

1 0 0 2 k - 12 k - 3   0 1 0 4 k - 15 2 k - 3 0 0 1 1 k - 3 ou x = 2 k - 12 k - 3 y = 4 k - 15 2 k - 3 z = 1 k - 3

Encontramos a nossa matriz escalonada do sistema de equações!

Passo 3

No item b) vemos que se k = 3 , o sistema se torna impossível já que os denominadores da última coluna vão zerar.

Na matriz * , marcada anteriormente, vamos usar a ultima linha para zerar os dois valores: k 2 - 4 k + 3 e k - 1 . Para um sistema admitir infinitas soluções, o número de equações deve ser maior que o número de incógnitas, ou seja, temos que buscar um valor que faça as duas equações da terceira linha zerarem.

Na equação k 2 - 4 k + 3 , as raízes que zeram ela são k = 1 e k = 3 , na equação k - 1 sua raiz é apenas k = 1 , ou seja, k = 1 é o único valor que zera as duas equações, então para este valor, o sistema possui infinitas soluções.

Para exemplificar, a matriz terá a seguinte cara

1 0 4 3 0 2 3 4 0 0 0 0

Por fim, para o sistema ter apenas uma solução, podemos dizer que o conjunto dos números reais, com exceção de 1 e 3 , atende nossos parâmetros, em que vimos

x = 2 k - 12 k - 3 y = 4 k - 15 2 k - 3 z = 1 k - 3

Passo 4

No item c), para representar a forma vetorial paramétrica para quando k = 1 , temos

1 0 4 3 0 2 3 4 0 0 0 0

Ou seja, convertendo estes valores para sua forma de equações, temos

x + 4 z = 3 2 y + 3 z = 4

x = 3 - 4 z y = 4 - 3 z 2

Para ficar uma resposta mais bonita, pra impressionar seu(sua) professor(a) podemos escrever como

x y z = 3 - 4 z 4 - 3 z 2 z

x y z = 3 2 0 + z - 4 - 3 2   1 ,   z ∈ R

Que coisa mais linda! 😍

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A) 1 0 0 2 k - 12 k - 3   0 1 0 4 k - 15 2 k - 3 0 0 1 1 k - 3 ou 1 0 k + 3 3 0 2 3 4 0 0 k 2 - 4 k + 3 k - 1

B) Sistema Impossível: k = 3

Sistema Possível e Indeterminado: k = 1

Para o sistema ter apenas uma solução, podemos dizer que k ∈ R , com exceção de 1 e 3

C) x y z = 3 2 0 + z - 4 - 3 2 1 ,   z ∈ R

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada sistema do Exercício 3 que for linear, determine se é consistente.
Em cada parte, determine se as equações formam um sistema linear no sistema: - 2 x + 4 y + z = 2 3 x - 2 y = 0
Na linha do exercício anterior, mostre que se a1b2 − a2b1 ≠ 0 então o sistema admite sempre uma solução do tipo (x, y, 0).
No sistema abaixo, atribua sucessivamente valores aos parâmetros m, n de modo que as três equações representem um único plano, dois planos ou três planos: x-2 y-3 z=m3 x-6 y-9 z=n- 2 x+4 y+6 z=1
Para cada um dos sistemas abaixo, decida em qual dos casos (primeiro a oitavo) discutidos no texto ele se enquadra. Determine também todas as soluções do sistema, se houver. 3 x-5 y+2 z=14 x-3 y+z=22