Enunciado

Considere a seguinte matriz ampliada de um sistema de equações lineares. Quais as condições que a e b devem satisfazer pra que o sistema tenha infinitas soluções? Neste caso, qual o grau de liberdade do sistema?

1 0 2 3 4 - 2 6 8 2 3 7 12 - 1 3 a b

Passo 1

Bom, vamos começar escalonando isso aí!

1 0 2 3 4 - 2 6 8 2 3 7 12 - 1 3 a b → L 2 ← L 2 - 4 L 1 L 3 ← L 3 - 2 L 1 L 4 ← L 4 + L 1 1 0 2 3 0 - 2 - 2 - 4 0 3 3 6 0 3 a + 2 b + 3 → L 2 ← L 2 2 1 0 2 3 0 - 1 - 1 - 2 0 3 3 6 0 3 a + 2 b + 3 → L 3 ← L 3 + 3 L 2 L 4 ← L 4 + 3 L 2 1 0 2 3 0 - 1 - 1 - 2 0 0 0 0 0 0 a - 1 b - 3

Se passarmos essa matriz aumentada para a forma de sistema:

x + 2 z = 3 - y - z = - 2 a - 1 z = b - 3

A princípio temos 3 equações e 3 variáveis. Para que o sistema tenha infinitas soluções precisamos ter mais variáveis que equações! Logo, precisamos zerar uma das equações. E o único jeito de fazermos isso é com a = 1 e b = 3 . Nesse caso teremos:

x + 2 z = 3 - y - z = - 2

Temos 2 equações e 3 variáveis, logo, 1 variável livre. Então o grau de liberdade do sistema é 1 .

Resposta

a = 1 ; b = 3 . O grau de liberdade do sistema é 1 .

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