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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

a) Apresente a extensão ímpar e periódica de período P = 2 L = 2 π de f x :

f x = x ,     0 ≤ x ≤ π

b) Encontre a série de Fourier de senos da função do item (a)

Passo 1

a) Vamos começar montando o gráfico de uma função ímpar a partir de f x . Esse é o gráfico de f x :

Para a gente montar uma função ímpar a partir dele, precisamos espelhar esse gráfico em relação ao eixo y . E o gráfico que resultar disso, a gente espelha em relação ao eixo x :

Daí, nossa função ímpar tem essa definição:

f x = x ,     - π ≤ x ≤ π

E como nosso período vale 2 π , dizemos que

f x + 2 π = f x

Tá aí a definição da nossa extensão!

Passo 2

b) Para encontrar a série de Fourier de senos para essa função, a gente só precisa usar a fórmulinha

f x = ∑ n = 1 ∞ b n   s e n n π x L

Do enunciado a gente viu que 2 L = 2 π ∴ L = π . Então

f x = ∑ n = 1 ∞ b n   s e n n x

Aí só falta calcular b n que tem essa carinha:

b n = 2 L ∫ 0 L f x   s e n n π x L d x

Já que f x = x e L = π

b n = 2 π ∫ 0 π x   s e n n x d x

Bora calcular essa integral!

Passo 3

Como a gente tem o produto entre duas funções, podemos usar integração por partes:

u = x ,     d u d x = 1 ∴ d u = d x

d v = s e n n x ∴ v = ∫ s e n n x d x = - cos ⁡ n x n

Jogando na fórmulinha de integração por partes, a gente tem

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 0 π x   s e n n x d x = - x cos ⁡ n x n 0 π - ∫ 0 π - cos ⁡ n x n d x

∫ 0 π x   s e n n x d x = - x cos ⁡ n x n 0 π - s e n n x n 2 0 π

∫ 0 π x   s e n n x d x = - π cos ⁡ n π n

Passo 4

Daí a gente tem que

b n = 2 π ⋅ - π cos ⁡ n π n = - 2 n cos ⁡ n π

Como esse cosseno fica alternando entre 0 e 1 conforme n , um número inteiro, aumenta, podemos escrever que

cos ⁡ n π = - 1 n

Aí nossa continha fica:

b n = - 2 n - 1 n

E a série de Fourier fica:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n   s e n n x

f x = ∑ n = 1 ∞ - 2 n - 1 n   s e n n x

Resposta

a) f x = x ,       - π ≤ x ≤ π com f x + 2 π = f x

b) f x = ∑ n = 1 ∞ - 2 n - 1 n   s e n n x

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