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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja f : R → R uma função de período 2 π tal que f x = π - x 2 para todo x ∈ 0 , π .

  1. Sabendo que f é uma função ímpar, determine a expressão de f no intervalo [ - π , 0 ] .
  2. Determine a série de Fourier da função f .
  3. Usando o item (b), calcule a soma da série numérica ∑ n = 1 ∞ s e n   n n . Justifique sua resposta.

Passo 1

Letra a)

Vamos fazer um desenho dessa expansão de f , ok?

Essa é a definição de f ( x ) que o problema deu de 0 a π :

Vamos fazer a extensão ímpar dessa função, porque o problema pede uma série de senos. Primeiro nós espelhamos ela em relação ao eixo y

Espelhamos essa reta azul no eixo x :

O período de f - é então essa parte verde mais a vermelha, para termos uma função em série de senos temos que ter f x ímpar como já vimos, para isso devemos pegar a função entre – π e π , fazendo essa marotagem que fizemos ali de espelhar no eixo y e depois no eixo x , isso garante que nossa função seja ímpar, mas para isso tudo dar certo temos que pegar de – π à π fazendo o período ser 2 π

Passo 2

Tá, mas o que o problema pede é a expressão de f para [ - π , 0 ) . Nós sabemos que

f x = π - x 2

para todo x ∈ 0 , π .

Como a função é ímpar, sabemos que

f x = - f - x

Logo, a expressão de f para o intervalo que o problema quer é dada por:

- f - x = - π - - x 2 = - x - π 2

Passo 3

Letra b)

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos o seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L    

a n = 0

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Como o período da função é 2 π , temos:

2 L = 2 π     →     L = π

Passo 4

Vamos calcular os b n ’s. Temos que:

b n = 2 π ∫ 0 π f x sen ⁡ ( n x ) d x

Agora vamos substituir a expressão de f ( x ) :

π - x 2

b n = 2 π ∫ 0 π π - x 2   sen ⁡ ( n x ) d x

b n = ∫ 0 π   sen ⁡ ( n x ) d x - 1 π ∫ 0 π x   sen ⁡ ( n x ) d x

b n = - 1 n c o s ( n x ) 0 π - 1 π ∫ 0 π x   sen ⁡ ( n x ) d x

b n = - 1 n [ cos ⁡ n π - 1 ] - 1 π ∫ 0 π x   sen ⁡ ( n x ) d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x       →       u ' = 1

v ' = sen ⁡ n x       →         v = - 1 n cos ⁡ ( n x )

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - x n cos ⁡ n x 0 π - ∫ 0 π - 1 n cos ⁡ n x d x

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + ∫ 0 π 1 n cos ⁡ n x d x

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + 1 n 2 sen ⁡ ( n x ) 0 π

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + 1 n 2 sen ⁡ ( n π )

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + 0

b n = - 1 n cos ⁡ n π - 1 + 1 n cos ⁡ n π

b n = 1 n

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L    

L = π

a n = 0

b n = 1 n

O que nos dá

f x = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ( n x ) n        

Passo 6

Letra c)

Como f é seccinalmente contínua, temos que

f x = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ( n x ) n        

Em todo ponto de continuidade de f . E, como f é contínua em x = 1 , temos:

f 1 = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ( n ) n   = π - 1 2    

Resposta

  1. f ( x ) = - x - π 2
  2. f x = ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ( n x ) n        
  3. π - 1 2

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