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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Sendo

f x = 1 0 ≤ x ≤ π 2 0 π 2 < x ≤ π

  1. Determine a série de Fourier de cossenos da função f x
  2. Esboce o gráfico da função y = S x .
  3. Determine S 12 e S 37 π

Passo 1

b)

Vamos começar fazendo o gráfico, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:

Até aqui nada demais, né? Como a questão pede uma série de cossenos, temos que fazer uma extensão par dessa função. Então, o próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo y , dessa forma:

Bom, a função tem que ser periódica, né? Então vamos repetir esse padrão, para a esquerda e para a direita.

Pronto, temos então três períodos da função, como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais. Nesse caso:

f x + + f x - 2 = 1 + 0 2 = 1 2

Nós colocamos então as bolinhas cheias em y = 1 / 2 (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades).

Passo 2

a)

Beleza, agora temos que representar a função em série de Fourier. Como temos uma série de cossenos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x    

a n = 2 π ∫ 0 π f x cos ⁡ n x d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 0

Passo 3

Agora vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n :

a 0 = 2 π ∫ 0 L f x d x

Agora temos que dividir essa integral em duas, pois f ( x ) vale 1 em 0 < x < 1 e vale 0 em 1 < x < 2 , temos então

a 0 = 2 π ∫ 0 π 2 1   d x + 2 π ∫ π 2 π 0   d x

Assim:

a 0 = 1

Passo 4

Agora vamos calcular os outros a n ’s. Temos que:

a n = 2 π ∫ 0 π 2 f x cos ⁡ n x d x

Dividindo essa integral em duas, como fizemos com a 0 :

a n = 2 π ∫ 0 π 2 1 cos ⁡ n x d x + ∫ π 2 π 0 cos ⁡ n x d x

a n = 2 n π sen ⁡ n x 0 π 2

a n = 2 n π sen ⁡ n π 2

Agora vamos analisar esse seno com calma.

Se n é par, ou seja, se n = 2 k

sen ⁡ n π 2   = 0

Logo

a 2 k = 2 2 k π 0 = 0

Agora vamos analisar os n ’s ímpares, fazendo n = 2 k - 1 , temos:

sen ⁡ 1 π 2 = 1           k = 1

sen ⁡ 3 π 2 = - 1           k = 2

sen ⁡ 5 π 2 = 1             k = 3

Logo, para n   ímpar, sendo n = 2 k - 1

sen ⁡ n π 2 = - 1 k + 1

Então, podemos dizer que

a 2 k - 1 = 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L    

L = 2

a 0 = 1

a 2 k = 2 2 k π 0 = 0

a 2 k - 1 = 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1

b n = 0

O que nos dá

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x    

Vamos substituir agora o coeficiente a n . Repare que para n = 2 k , a n se anula, então só estamos interessados nos n ’s ímpares, quando n = 2 k - 1 . Vamos então substituir isso na série.

Fazendo n = 2 k - 1 :

Para k = 1 temos n = 1 , portanto a série deve começar em k = 1 .Temos então

f x = 1 2 + ∑ k = 1 ∞ 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1 cos ⁡ ( 2 k - 1 ) π x 2

Passo 6

c)

Vamos agora achar os valores que ele pediu S ( 12 ) e S 37 π

Lembrando que

S x = 1 - π 2 < x < π 2 0 - π ≤ x < - π 2       o u       π 2 < x ≤ π 1 2 x = π 2   o u   x = - π 2

Temos que ver o qual o equivalente a cada um desses valores que ele pediu de S entre – π e π

Vamos começar com S 12

Lembrando que π ≅ 3,14 , temos que ver entre quais dois múltiplos impares disso ele está.

3 π ≅ 9,42

5 π ≅ 15,7

Temos

3 π < 12 < 5 π

Vamos agora passar isso para – π à π , para isso vamos subtrair 4 π em toda a equação

- π < 12 - 4 π < π

Fazendo uma aproximação temos

12 - 4 π ≅ - 0,56

E

π 2 ≅ 1,57

Então

- π 2 < 12 - 4 π < π 2

E vamos ter

S 12 = S 12 - 4 π = 1

Passo 7

Vamos para com S 37 π

Dessa vez já temos um múltiplo ímpar de π , assim temos que o seu valor vai ser

S 37 π = S - π = S π = 0

Resposta

a)

f x = 1 2 + ∑ k = 1 ∞ 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1 cos ⁡ ( 2 k - 1 ) π x 2

b)

c)

S 12 = S 12 - 4 π = 1

S 37 π = S - π = S π = 0

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