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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Encontre a série de Fourier para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

f x = x                 0 ≤ x < 1 1             1 ≤ x < 2

Série de senos, período 4 .

Passo 1

Vamos começar fazendo o gráfico, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:

Até aqui nada demais, né? Como a questão pede uma série de senos, temos que fazer uma extensão ímpar dessa função. Então, o próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo y , dessa forma:

Mas isso seria uma extensão par, não é? Pra fazermos uma extensão ímpar temos que rebater essa parte azul no eixo x , ou seja, jogar ela para baixo:

Certo, o período da função que queremos é então essa parte verde mais a vermelha! Como esse é o padrão que se repete, vamos copiá-lo, tanto para a esquerda como para a direita, olha só:

Pronto, temos então três períodos da função, como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais. Nesse caso:

f x + + f x - 2 = 1 - 1 2 = 0

Nós colocamos então as bolinhas cheias em y = 0 repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades). Não poderia ser diferente, né? Uma extensão periódica ímpar sempre apresenta:

f L = - f - L = 0

Como a gente já viu.

Passo 2

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos o seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L    

a n = 0 ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Como o período da função é 4 como o enunciado pediu, temos:

2 L = 4     →     L = 2

Passo 3

Vamos calcular os b n ’s. Temos que:

b n = ∫ 0 2 f x sen ⁡ n π x 2 d x

Como temos mais de uma expressão para f ( x ) em 0 < x < 2 , precisamos dividir essa integral em duas:

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 1 sen ⁡ n π x 2 d x

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x - 2 n π cos ⁡ n π x 2 1 2

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x - 2 n π cos ⁡ n π + 2 n π cos ⁡ n π 2

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x       →       u ' = 1

v ' = sen ⁡ n π x 2       →         v = - 2 n π c o s n π x 2

b n = - 2 x n π cos ⁡ n π x 2 0 1 + ∫ 0 1 2 n π cos ⁡ n π x 2 d x - 2 n π cos ⁡ n π + 2 n π cos ⁡ n π 2

b n = - 2 n π cos ⁡ n π 2 + 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π x 2 0 1 - 2 n π cos ⁡ n π + 2 n π cos ⁡ n π 2

b n = 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π

Como essa expressão é um pouco complexa (já que envolve seno e cosseno), não vamos fazer aquela análise para n ’s pares e ímpares ok? Vamos deixar assim mesmo.

Passo 4

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x 2    

L = 2

a n = 0

b n = 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π

O que nos dá

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2        

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π sen ⁡ n π x 2

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