Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja

I c 1 , c 2 , c 3 = ∫ - π π x - ∑ k = 1 1 c k sen ⁡ k x 2 d x

Determine c 1 , c 2 , c 3 que minimizam I .

Passo 1

Bom, para minimizar a quantidade I , devemos minimizar o que está dentro da integral. Se escrevermos a função f x = x em série de Fourier, teremos uma série de senos, por se tratar de uma função ímpar. E então, os c k que irão minimizar I são justamente os termos da série de Fourier. Ou seja:

min ( c 1 , c 2 , c 3 ) ⁡ ∫ - π π x - ∑ k = 1 1 c k sen ⁡ k x 2 d x = ∫ - π π x - ∑ k = 1 1 b k sen ⁡ k x 2 d x

Passo 2

Para descobrirmos b k , sabemos que:

b k = 1 π ∫ - π π x sen ⁡ ( k x ) d x = 2 π ∫ 0 π x sen ⁡ ( k x ) d x

Para resolver essa integral, faremos uma integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamando u = x → d u = d x ; d v = sen ⁡ k x d x → v = - cos ⁡ k x k :

2 π ∫ 0 π x sen ⁡ ( k x ) d x = 2 π - cos ⁡ k x k x 0 π - 1 k ∫ 0 π cos ⁡ k x d x

2 π - cos ⁡ k x k x 0 π - 1 k ∫ 0 π cos ⁡ k x d x = 2 π - cos ⁡ k x k x 0 π - sen ⁡ k x k 2 0 π

= 2 π - cos ⁡ k π k π = 2 k - 1 k + 1

Portanto:

c 1 = b 1 = 2 ;     c 2 = b 2 = - 1 ;     c 3 = b 3 = 2 3

Resposta

c 1 = b 1 = 2 ;     c 2 = b 2 = - 1 ;     c 3 = b 3 = 2 3

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