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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja

f x = 0 0 < x ≤ 2 x 2 < x ≤ 3

Encontre uma série de Fourier de cossenos que convirja para a função f x (Sugestão: considere a extensão par de f x ). Para que valor converge essa série em x = 2 ?

Passo 1

( a ) Vamos seguir a dica e calcular a extensão par da função. Primeiro identificamos o período P = 2 L = 6 . Isto é, f x + 6 = f ( x ) . Lembrando da formula para extensão de função par.

f x = f ( x ) ,     0 ≤ x ≤ L f ( - x ) ,     - L < x < 0

f x + 2 L = f ( x )    

Aplicando pro nosso caso nós teremos a seguinte função.

f x = - x ,     s e - 3 < x < - 2   0 ,     s e - 2 ≤ x < 0 0 ,     s e   0 ≤ x ≤ 2 x ,     s e   2 < x ≤ 3

Agora que temos uma função periódica podemos calcular a série de Fourier de cossenos dessa série.

Passo 2

Lembrando da fórmula da série para cossenos.

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n   c o s n π x 3

Vamos avaliar os coeficientes da série:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x   d x

a 0 = 1 3 ∫ - 3 3 f x   d x

a 0 = 1 3 ∫ - 3 - 2 ( - x )   d x + 1 3 ∫ 2 3 x   d x

a 0 = 1 3 - x 2 2 - 3 - 2 + 1 3 x 2 2 2 3

a 0 = 5 3

Passo 3

Para o termo geral a n , temos:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x 3 d x

a n = 1 3 ∫ - 3 3 f x cos ⁡ n π x 3 d x

a n = 1 3 ∫ - 3 - 2 - x cos ⁡ n π x 3 d x + ∫ 2 3 x cos ⁡ n π x 3 d x

Resolvendo essa integral manjada de ∫ x cos ⁡ n π x 3 d x

  ∫ x cos ⁡ n π x 3 d x = 3 n π x sen ⁡ n π x 3 + 9 cos ⁡ n π x 3 n 2 π 2

Passo 4

Então, temos o seguinte:

a n = 1 3 - 3 n π x sen ⁡ n π x 3 + 9 cos ⁡ n π x 3 n 2 π 2 - 3 - 2 + 3 n π x sen ⁡ n π x 3 + 9 cos ⁡ n π x 3 n 2 π 2 2 3

a n = 1 3 n 2 π 2 - - 6 n π sen ⁡ - 2 n π 3 + 9 cos ⁡ - 2 n π 3 + 9 n π sen ⁡ - n π - 9 cos ⁡ ( - n π ) + 9 n π sen ⁡ ( n π ) + 9 cos ⁡ ( n π ) - 6 n π sen ⁡ 2 n π 3 - 9 cos ⁡ 2 n π 3

Lembrando um pouquinho de trigonometria nós sabemos que

sen ( ⁡ x ) = - sen ⁡ - x ,     cos ⁡ x = cos ⁡ ( - x )  

a n = 1 3 n 2 π 2 - 12 n π sen ⁡ 2 n π 3 - 18 cos ⁡ 2 n π 3 + 18 n π sen ⁡ n π + 18 cos ⁡ n π

a n = 2 n 2 π 2 - 2 n π sen ⁡ 2 n π 3 - 3 cos ⁡ 2 n π 3 + 3 n π sen ⁡ n π + 3 cos ⁡ n π

Mas sen ⁡ n π = 0   e cos ⁡ ( n π ) = - 1 n então nosso termo será.

a n = 2 n 2 π 2 - 2 n π sen ⁡ 2 n π 3 - 3 cos ⁡ 2 n π 3 + 3 - 1 n

Passo 5

Assim a nossa função será

f x = 5 6 + ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 π 2 - 2 n π sen ⁡ 2 n π 3 - 3 cos ⁡ 2 n π 3 + 3 - 1 n   c o s n π x 3

Agora vamos analisar o valor dessa função para x = 2 . Esse é um ponto de descontinuidade e para que a série de Fourier convirja temos que pontos como esse devem assumir o seguinte valor.

f x = f x + + f x - 2

No nosso caso.

f 2 = 0 + 2 2 = 1

Resposta

a)

f x = 5 6 + ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 π 2 - 2 n π sen ⁡ 2 n π 3 - 3 cos ⁡ 2 n π 3 + 3 - 1 n   c o s n π x 3

f 2 = 1

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