Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Encontre a série de Fourier da f e x t ,   p a r (i.e da extensão par e periódica de período P = 2 L = 6 da função

f x = x           0 ≤ x < 3

Esboce o gráfico da f e x t ,   p a r .

Passo 1

Então pessoal, vamos começar desenhando essa função normalmente:

f x = x           0 ≤ x < 3

A ideia da extensão par é a seguinte: a gente vai prolongar essa função para um período 2 L = 6 , de forma que ela obedeça:

f - x = f x

Ou seja, é só refletir a função no eixo y :

E aí podemos escrever essa nova função desse jeito:

f x = x       ,     0 ≤ x ≤ 3 - x       ,     - 3 ≤ x ≤ 3

Nosso objetivo é achar a série de Fourier dessa função aí.

Passo 2

Como estamos falando de uma função par, vamos ver como ficam as fórmulas para a série de Fourier. Primeiro, a forma geral da função:

f x = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

O coeficiente a 0 é:

a 0 = 1 L ∫ 0 L f x d x  

E os coeficientes a n são:

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x  

E no nosso caso, como o próprio enunciado já disse:

2 L = 6         ⇒           L = 3

Então beleza, vamos aplicar essas fórmulas.

Passo 3

O primeiro passo é calcular a constante a 0 :

a 0 = 1 L ∫ 0 L f x d x  

Substituindo L = 3 :

a 0 = 1 3 ∫ 0 3 f x d x  

E nesse intervalo, a função é definida simplesmente como f x = x , então:

a 0 = 1 3 ∫ 0 3 x d x  

Como a integral de x   é 1 2 x 2 :

a 0 = 1 3 x 2 2 3 0 = 1 3 3 2 2 - 0 2 2 = 3 2

Passo 4

E o próximo passo é encontrar a fórmula para os coeficientes a n :

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x  

Substituindo de novo L = 3 e f x = x :

a n = 2 3 ∫ 0 3 x cos ⁡ n π x 3 d x  

O jeito mais fácil de resolver essa integral, é olhando pra integral indefinida primeiro:

∫ x cos ⁡ m x d x

Onde esse m é uma constante qualquer, que no nosso caso vai virar o m = n π x 3 . Vamos usar integração por partes. A fórmula é essa aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E agora a gente tem que escolher quem chamar de u e quem chamar de d v .

u = x d v = cos ⁡ m x   d x         ⇒           d u = 1   d x v = ( 1 / m ) sen ⁡ m x

O nosso v ali do lado direito é simplesmente a integral de cos ⁡ m x em relação a x .

Substituindo isso na fórmula:

∫ x cos ⁡ m x d x = x m sen ⁡ m x - ∫ 1 m sen ⁡ m x   d x

∫ x cos ⁡ m x d x = x m sen ⁡ m x + 1 m ∫ - sen ⁡ m x   d x

E a integral de - sen ⁡ m x é 1 m cos ⁡ m x , então:

∫ x cos ⁡ m x d x = 1 m x sen ⁡ m x + 1 m 2 cos ⁡ m x

Beleza, agora a gente tem uma fórmula pra resolver aquela integral.

Passo 5

Então tá, vamos aplicar essa fórmula. Queremos resolver essa integral aqui:

a n = 2 3 ∫ 0 3 x cos ⁡ n π x 3 d x  

E a nossa fórmula diz que:

∫ x cos ⁡ m x d x = 1 m x sen ⁡ m x + 1 m 2 cos ⁡ m x

No nosso caso, m = n π 3 . Vamos calcular nos dois limites de integração, começando por x = 3 :

x = 3         ⇒         3 n π 3 sen ⁡ n π 3 3 + 3 n π 2 cos ⁡ n π 3 3 = 9 n π sin ⁡ n π + 9 n π 2 cos ⁡ n π

Mas cos ⁡ n π = - 1 n e sen ⁡ n π = 0 , então:

x = 3         ⇒ - 1 n   9 n π 2

E como sen ⁡ 0 = 0 e cos ⁡ 0 = 1 :

x = 0         ⇒         3 n π 0 sen ⁡ n π 3 0 + 3 n π 2 cos ⁡ 3 0 = 0 + 9 n π 2

Agora é só subtrair uma da outra:

a n = 2 3 ∫ 0 3 x cos ⁡ n π x 3 d x   = 2 3 - 1 n   9 n π 2 - 9 n π 2

Reorganizando um pouco:

a n = 2 3 9 n π 2 - 1 n   - 1 = 6 n π 2 - 1 n - 1

Passo 6

Vamos dar uma olhada nesse termo aí entre parênteses:

- 1 n - 1

Olha o que acontece quando n é par/ímpar:

n   p a r         ⇒           - 1 n = 1       ⇒           - 1 n - 1 = 0

n   í m p a r         ⇒           - 1 n = - 1       ⇒           - 1 n - 1 = - 2

Ou seja, se a gente montar a nossa série desse jeito aqui:

f x = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L

Só substituindo L , a 0 e a n :

f x = 3 2 + ∑ n = 1 ∞ 6 n π 2 - 1 n - 1 cos ⁡ n π x 3

Todos os termos com n par vão se anular pelo que a gente viu ali em cima, então só sobram os termos ímpares,.

Então vamos fazer n = 2 k + 1 (com k começando em 0 ) e - 1 n - 1 = - 2 :

f x = 3 2 + ∑ k = 0 ∞ 6 2 k + 1 2 π 2 - 2 cos ⁡ 2 k + 1 π x 3

Simplificando um pouco:

f x = 3 2 - ∑ k = 0 ∞ 12 2 k + 1 2 π 2 cos ⁡ 2 k + 1 π x 3

Pronto! Essa é a série de Fourier da extensão par da função.

Resposta

A série de Fourier da extensão par da função é f x = 3 2 - ∑ k = 0 ∞ 12 2 k + 1 2 π 2 cos ⁡ 2 k + 1 π x 3 .

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