Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja f : 0,2 → R a função definida por:

f x = 1 ,       0 ≤ x < 1 0 ,       1 ≤ x ≤ 2

  1. Determine a série de Fourier em senos de f .
  2. Esboce o gráfico da série obtida no item (a) no intervalo - 6,6
  3. Calcule o valor da série:

∑ m = 0 ∞ - 1 m 2 m + 1

Passo 1

OK, vamos começar com a letra (a). Para determinar a série de Fourier precisamos que a função seja periódica. Então, vamos fazer a extensão ímpar desta função. Vamos lá?

Não precisamos determinar por agora qual a expressão da extensão ímpar, que chamaremos de   f - x , vamos só considerar duas coisas.

O período da função vai ser duas vezes o intervalo dado. Como f vai de 0 ≤ x ≤ 2 , então a extensão será 4 -periódica. Além disso, como estamos fazendo a extensão ímpar teremos uma série só de senos, ficando:

  f - x = ∑ m = 1 ∞ b n sen ⁡ m π x L

Como a extensão é 4 -periódica e a fórmula geral é 2 L - periódica, então temos L = 2 e:

  f - x = ∑ m = 1 ∞ b n sen ⁡ m π x 2

Show. Agora vamos determinar esse coeficiente. Pela fórmula geral, vamos ter: b n = 1 L ∫ - L L f - x sen ⁡ m π x L d x

Como a nossa extensão é impar e a função seno também é ímpar, o integrando será par. Portanto: b n = 2 L ∫ 0 L f - x sen ⁡ m π x L d x  

b n = 2 2 ∫ 0 2 f - x sen ⁡ m π x 2 d x

Para o intervalo de 0 < x < 2 , a extensão vai ser exatamente igual a própria função, portanto:

b n = ∫ 0 2 f x sen ⁡ m π x 2 d x

Separando em uma integral para cada expressão:

b n = ∫ 0 1 1 sen ⁡ m π x 2 d x + ∫ 1 2 0 sen ⁡ m π x 2 d x

Assim, teremos: b n = ∫ 0 1 sen ⁡ m π x 2 d x = - cos ⁡ m π x 2 m π 2 0 1 = - 2 m π cos ⁡ m π 2 + 2 m π

Assim, vamos ter:

  f - x = ∑ m = 1 ∞ b n sen ⁡ m π x 2

  f - x = ∑ m = 1 ∞ - 2 m π cos ⁡ m π 2 + 2 m π sen ⁡ m π x 2

Passo 2

Agora, vamos para a letra (b). Para esboçarmos o gráfico da extensão ímpar, precisamos determinar a expressão da extensão ímpar f - .

A parte positiva de para 0 < x < 2  de f - será idêntica a f , com exceção dos pontos de mudança de expressão, que veremos mais para frente. Então teremos: f - x = 1 ,     0 < x < 1

f - x = 0 ,     1 < x < 2

Vamos colocar isso no nosso esboço:

Agora, para a parte negativa, como estamos fazendo uma extensão ímpar, precisamos que: - f - - x = f - x

Portanto, vamos ter:

f - x = - 1 = 0 ,     - 1 < x < 0

f - x = 0 ,     - 2 < x < - 1

Que é justamente a condição que satisfaz - f - - x = f - x . Vamos colocar isso no gráfico também:

Agora, precisamos que a função seja periódica e com o período igual ao intervalo que definimos. Então, vamos ter: f - x = f - x + 4

Isso significa que repetimos o nosso gráfico a cada 4 unidades. Fazendo isso:

Para completar nossa extensão, vamos ver os pontos em que a função muda de expressão. Nesses pontos, pelo teorema de convergência da série de Fourier, a série vai convergir para a média dos limites laterais, ou seja, teremos: f - 0 = f - 0 + + f - 0 - 2 = 1 - 1 2 = 0

f - 1 = f - 1 + + f - 1 - 2 = 0 + 1 2 = 1 2

f - - 1 = - 1 2

OK. Já temos o que precisamos. A expressão da extensão então vai ser: f - x = 1 ,     0 < x < 1 0 ,     1 < x < 2 - 1 ,     - 1 < x < 0 0 ,     - 2 < x < - 1

f - x = f - x + 4

f - 0 = 0

f - 1 = 1 2

f - - 1 = - 1 2

Marcamos então os pontos que ficaram faltando sem esquecer de repeti-los de acordo com o período da função:

Show. Esse vai ser o gráfico.

Passo 3

Agora vamos para letra (c). A questão tá pedindo o valor de

∑ m = 0 ∞ - 1 m 2 m + 1

Para chegar nesse valor, vamos tentar deixar a série que obtemos na forma da série pedida. Temos no momento:

f - x = ∑ m = 1 ∞ - 2 m π cos ⁡ m π 2 + 2 m π sen ⁡ m π x 2

Bem, fazendo x = 1 , temos: f - 1 = ∑ m = 1 ∞ - 2 m π cos ⁡ m π 2 + 2 m π sen ⁡ m π 2

Distribuindo, vamos ter: f - 1 = ∑ m = 1 ∞ - 2 m π cos ⁡ m π 2 sen ⁡ m π 2 + 2 m π sen ⁡ m π 2

Temos que:

sen ⁡ a + a = 2 cos ⁡ a sen ⁡ a

Assim, vamos ter: - 2 m π cos ⁡ m π 2 sen ⁡ m π 2 = - 1 m π sen ⁡ m π

Só que uma coisa aí. Como m é um número inteiro, pelo círculo trigonométrico:

sen ⁡ m π = 0

Pois estamos sempre andando pelos valores: sen ⁡ 0 = sen ⁡ π = sen ⁡ 2 π = … = 0

Assim, teremos:

f - 1 = ∑ m = 1 ∞ 2 m π sen ⁡ m π 2

Vamos analisar agora o:

sen ⁡ m π 2

Toda vez que m for um número par, teremos:

sen ⁡ 0 = sen ⁡ π = sen ⁡ 2 π = … = 0

Assim, mudamos o índice para n englobando somente valores ímpares: m = 2 n + 1

Quando m = 1 , n = 0 . Logo, mudando o contador também ficando: f - 1 = ∑ m = 1 ∞ 2 m π sen ⁡ m π 2

f - 1 = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 1 π sen ⁡ 2 n + 1 π 2

Já está parecido com a série que queremos:

∑ m = 0 ∞ - 1 m 2 m + 1

Olhando para o nosso seno, temos: sen ⁡ 2 n + 1 π 2 = sen ⁡ 2 n π 2 + π 2 = sen ⁡ n π + π 2

Como:

sen ⁡ a + b = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

sen ⁡ n π + π 2 = sen ⁡ n π cos ⁡ π 2 + sen ⁡ π 2 cos ⁡ n π = cos ⁡ n π

Portanto, vamos ter:

f - 1 = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 1 π sen ⁡ 2 n + 1 π 2

f - 1 = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 1 π cos ⁡ n π

Quase lá! Vendo agora o cosseno, vamos ter: cos ⁡ n π → cos ⁡ 0 = 1

cos ⁡ π = - 1

cos ⁡ 2 π = 1

cos ⁡ 3 π = - 1

Portanto:

cos ⁡ n π = - 1 ,     n   í m p a r 1 ,     n   p a r

Logo:

cos ⁡ n π = - 1 n

Se você não se lembra da relação acima, é muito importante gravar. 😉

Beleza. Assim, a série vai ser: f - 1 = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 1 π cos ⁡ n π

f - 1 = ∑ n = 0 ∞ 2 - 1 n 2 n + 1 π

Ou seja:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 = π 2 f - 1

Vimos na letra (b) que, pelo teorema de convergência da série de Fourier:

f - 1 = 1 2

Logo:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 = π 4

E é essa a série que o problema pediu. Não faz diferença usarmos n e não m , o resultado não muda por isso.

Resposta

(a)   f - x = ∑ m = 1 ∞ - 2 m π cos ⁡ m π 2 + 2 m π sen ⁡ m π x 2

(b)

(c) ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 = π 4

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