Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Questão 12: Seja f : 0 ,   2 → R definida por

f x = x                               s e                   x ∈ [ 0 ,   1 ]   2 - x                 s e                     x ∈ ] 1,2 ]

O terceiro coeficiente b 3 da série de senos de f x é igual a:

  1. - 8 9 π 2
  2. - 4 9 π 2
  3. - 16 9 π 2
  4. - 8 3 π
  5. - 4 3 π

Passo 1

Bem, de acordo com Fourier, podemos encontrar os coeficientes b n da seguinte forma:

b n = 1 L ∫ - L L f x sin ⁡ n π x L d x

Em especial, quando estamos falando da série de senos de uma função (extensão ímpar), podemos simplesmente calcular:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sin ⁡ n π x L d x

Onde L é o valor máximo do intervalo da função. No nosso caso, como f : 0 ,   2 → R , então L = 2 :

b n = 2 2 ∫ 0 2 f x sin ⁡ n π x 2 d x

Como ainda queremos apenas o terceiro termo ( n = 3 ) :

b 3 = 2 2 ∫ 0 2 f x sin ⁡ 3 π x 2 d x

A função f é definida por partes da seguinte forma:

f x = x                               s e                   x ∈ [ 0 ,   1 ]   2 - x                 s e                     x ∈ ] 1,2 ]

Então, vamos ter que separar a integral em duas partes (já que a função f tem duas definições, uma de 0 a 1 e outra de 1 a 2 ):

b 3 = ∫ 0 1 x sin ⁡ 3 π x 2 d x + ∫ 1 2 2 - x sin ⁡ 3 π x 2 d x

Simplificando...

b 3 = ∫ 0 1 x sin ⁡ 3 π x 2 d x + ∫ 1 2 2 sin ⁡ 3 π x 2 - x sin ⁡ 3 π x 2 d x

Separando essa subtração em duas integrais:

b 3 = ∫ 0 1 x sin ⁡ 3 π x 2 d x + ∫ 1 2 2 sin ⁡ 3 π x 2 d x - ∫ 1 2 x sin ⁡ 3 π x 2 d x

Beleza, então agora é só calcular essas três integrais aí e correr para o abraço .

Passo 2

Para determinar o valor da primeira e a última, como é a mesma integral, mas de intervalos diferentes, é interessante calcular primeiro a integral indefinida de...

∫     x sin ⁡ 3 π x 2 d x

Podemos resolvê-la usando integração por partes onde:

u = x                 e                 d v = sin ⁡ 3 π x 2 d x

d u = d x                 e                 v = - cos ⁡ 3 π x 2 3 π / 2

(cuidado ao integrar o d v para obter o v , pois tem que aparecer o termo que multiplica o x na divisão, heim) Logo, como:

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u   →

∫     x sin ⁡ 3 π x 2 d x = - 2 3 π x cos ⁡ 3 π x 2 - ∫     - 2 3 π cos ⁡ 3 π x 2 d x →

∫     x sin ⁡ 3 π x 2 d x = - 2 3 π x cos ⁡ 3 π x 2 + 2 3 π ∫     cos ⁡ 3 π x 2 d x

Integrando o cosseno...

∫     x sin ⁡ 3 π x 2 d x = - 2 3 π x cos ⁡ 3 π x 2 + 2 3 π sin ⁡ 3 π x 2 3 π 2 →

∫     x sin ⁡ 3 π x 2 d x = - 2 3 π x cos ⁡ 3 π x 2 + 4 9 π 2 sin ⁡ 3 π x 2

Passo 3

Show, com essa integral indefinida calculada, podemos calcular aquela primeira e terceira integral do nosso b n definido lá no final do passo 1 (e repetido aqui em baixo):

b 3 = ∫ 0 1 x sin ⁡ 3 π x 2 d x + ∫ 1 2 2 sin ⁡ 3 π x 2 d x - ∫ 1 2 x sin ⁡ 3 π x 2 d x

Para obter a primeira, basta substituir os limites de integração e simplificar, veja:

∫ 0 1 x sin ⁡ 3 π x 2 d x =

- 2 3 π x cos ⁡ 3 π x 2 + 4 9 π 2 sin ⁡ 3 π x 2 0 1 =

- 2 3 π cos ⁡ 3 π 2 + 4 9 π 2 sin ⁡ 3 π 2 - - 0 + 4 9 π 2 sin ⁡ 0 =

Com cos ⁡ 3 π 2 = 0 e o seno sin ⁡ 3 π 2 = - 1 ...

0 + 4 9 π 2 - 1 - 0 + 0 =

- 4 9 π 2

Para obter a terceira, temos que fazer basicamente a mesma coisa, mas agora substituindo os limites de 1 a 2 :

∫ 1 2 x sin ⁡ 3 π x 2 d x = - 2 3 π x cos ⁡ 3 π x 2 + 4 9 π 2 sin ⁡ 3 π x 2 1 2 =

- 2 3 π 2 cos ⁡ 3 π + 4 9 π 2 sin ⁡ 3 π - - 2 3 π cos ⁡ 3 π 2 + 4 9 π 2 sin ⁡ 3 π 2 =

- 4 3 π - 1 + 0 - 0 + 4 9 π 2 - 1 =

4 3 π + 4 9 π 2  

Passo 4

Mas ainda falta calcular a integral do meio no b n :

∫ 1 2 2 sin ⁡ 3 π x 2 d x =

2 - cos ⁡ 3 π x 2 3 π 2 1 2 =

Substituindo os limites de intgeração...

2 - 2 3 π cos ⁡ 3 π x 2 1 2 =

2 - 2 3 π cos ⁡ 3 π - - 2 3 π cos ⁡ 3 π 2 =

Como cos ⁡ 3 π = - 1 ...

2 - 2 3 π - 1 = 4 3 π

Passo 5

Com todas essas integrais calculadas...

b 3 = ∫ 0 1 x sin ⁡ 3 π x 2 d x + ∫ 1 2 2 sin ⁡ 3 π x 2 d x - ∫ 1 2 x sin ⁡ 3 π x 2 d x   →

Podemos só substituir e simplificar

b 3 = - 4 9 π 2 + 4 3 π - 4 3 π + 4 9 π 2 =

b 3 = - 8 9 π 2

Resposta

Alternativa

a

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