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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja

f x = 0 0 < x ≤ 1 2 1 < x ≤ 2 0 2 < x < 3

b) Estenda f x para todos os outros valores reais de x como uma função ímpar e periódica de período 6 . Esboce o gráfico da extensão.

c) Calcule a série de Fourier da extensão ímpar de f x .

Passo 1

b)

Igual o que fizemos na primeira letra, vamos primeiro lembrar a formula para estender como função impar.

h x = f ( x ) ,     0 < x ≤ L - f ( - x ) ,     - L ≤ x < 0

h x + 2 L = h ( x )    

A ideia do período vai ser a mesma, então L = 3 . A nossa função será

h x = 0 ,     - 3 < x < - 2 - 2 ,     - 2 ≤ x < - 1 0 ,     - 1 ≤ x < 0 0 ,     0 < x ≤ 1 2 ,     1 < x ≤ 2 0 ,     2 < x < 3  

Passo 2

Esboçando esse gráfico teremos.

Passo 3

c)

Vamos lembrar que quando calculamos a série de Fourier de uma função impar nós acabamos com uma série só de senos. Não precisamos calcular os coeficientes para os cossenos e a nossa série de Fourier será.

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L    

Onde

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

Vamos partir pros cálculos agora.

Passo 4

Calculando b n

b n = 2 3 ∫ 1 2 2 sen ⁡ n π x 3 d x

b n = 4 3 - 3 n π cos ⁡ n π x 3 1 2 = 4 n π cos ⁡ n π 3 - cos ⁡ 2 n π 3    

Assim a nossa série será.

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 n π cos ⁡ n π 3 - cos ⁡ 2 n π 3 sen n π x 3    

Resposta

  • b) h x = 0 ,     - 3 < x < - 2 - 2 ,     - 2 ≤ x < - 1 0 ,     - 1 ≤ x < 0 0 ,     0 < x ≤ 1 2 ,     1 < x ≤ 2 0 ,     2 < x < 3  
  • b)
  • c) f x = ∑ n = 1 ∞ 4 n π cos ⁡ n π 3 - cos ⁡ 2 n π 3 sen n π x 3    

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