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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Encontre a série de Fourier para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

f x = 1     s e   0 ≤ x < 1 0       s e   1 ≤ x < 2

Série em cossenos, período 4 .

Passo 1

Vamos começar fazendo o gráfico, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:

Até aqui nada demais, né? Como a questão pede uma série de cossenos, temos que fazer uma extensão par dessa função. Então, o próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo y , dessa forma:

Bom, a função tem que ser periódica, né? Então vamos repetir esse padrão, para a esquerda e para a direita.

Pronto, temos então três períodos da função, como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais. Nesse caso:

f x + + f x - 2 = 1 + 0 2 = 1 2

Nós colocamos então as bolinhas cheias em y = 1 / 2 (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades).

Passo 2

Beleza, agora temos que representar a função em série de Fourier. Como temos uma série de cossenos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L    

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 0

Como o problema pede (e podemos ver no gráfico), o período da função é 4 . Logo

2 L = 4         →         L = 2

Assim

a n = 2 2 ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x = ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Passo 3

Agora vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n e L = 2 , temos:

a 0 = ∫ 0 2 f x d x

Agora temos que dividir essa integral em duas, pois f ( x ) vale 1 em 0 < x < 1 e vale 0 em 1 < x < 2 , temos então

a 0 = ∫ 0 1 1   d x + ∫ 1 2 0   d x

a 0 = x 0 1

Logo

a 0 = 1

Passo 4

Agora vamos calcular os outros a n ’s. Temos que:

a n = ∫ 0 2 f x cos ⁡ n π x 2 d x

Dividindo essa integral em duas, como fizemos com a 0 :

a n = ∫ 0 1 1 cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 0 cos ⁡ n π x 2 d x

a n = 2 n π sen ⁡ n π x 2 0 1

a n = 2 n π sen ⁡ n π 2

Agora vamos analisar esse seno com calma.

Se n é par, ou seja, se n = 2 k

sen ⁡ n π 2   = 0

Logo

a 2 k = 2 2 k π 0 = 0

Agora vamos analisar os n ’s ímpares, fazendo n = 2 k - 1 , temos:

sen ⁡ 1 π 2 = 1           k = 1

sen ⁡ 3 π 2 = - 1           k = 2

sen ⁡ 5 π 2 = 1             k = 3

Logo, para n   ímpar, sendo n = 2 k - 1

sen ⁡ n π 2 = - 1 k + 1

Então, podemos dizer que

a 2 k - 1 = 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L    

L = 2

a 0 = 1

a 2 k = 2 2 k π 0 = 0

a 2 k - 1 = 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1

b n = 0

O que nos dá

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 2    

Vamos substituir agora o coeficiente a n . Repare que para n = 2 k , a n se anula, então só estamos interessados nos n ’s ímpares, quando n = 2 k - 1 . Vamos então substituir isso na série.

Fazendo n = 2 k - 1 :

Para k = 1 temos n = 1 , portanto a série deve começar em k = 1 .Temos então

f x = 1 2 + ∑ k = 1 ∞ 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1 cos ⁡ ( 2 k - 1 ) π x 2    

Resposta

f x = 1 2 + ∑ k = 1 ∞ 2 ( 2 k - 1 ) π - 1 k + 1 cos ⁡ ( 2 k - 1 ) π x 2    

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