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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja f : R → R a função periódica de período 2 π , tal que f x = - 1   s e - π < x ≤ 0 e f x = 1 se 0 < x ≤ π

  1. Determine a série de Fourier da função f
  2. Usando a) calcule a soma da série numérica ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1

Passo 1

Lembrando das fórmulas para a série de Fourier.

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

Passo 2

Calculando a 0

a 0 = 1 π ∫ - π 0 - 1 d x + ∫ 0 π 1 d x

a 0 = 1 π - π + π = 0

Passo 3

Calculando a n

a n = 1 π ∫ - π 0 - cos ⁡ n π x π d x + ∫ 0 π cos ⁡ n π x π d x

a n = 1 π - 1 n ( sen ⁡ 0 - sen ⁡ - n π ) + 1 n ( sen ⁡ n π - sen ⁡ 0 )

Como sen ⁡ n π = sen ⁡ - n π = 0

a n = 0

Passo 4

Calculando b n

b n = 1 π ∫ - π 0 - sen ⁡ n π x π d x + ∫ 0 π sen ⁡ n π x π d x

b n = 1 π 1 n ( cos ⁡ 0 - cos ⁡ - n π ) + 1 n ( - cos ⁡ n π + cos ⁡ 0 )

b n = 2 n π ( 1 - cos ⁡ n π )

Logo a série será

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n π 1 - cos ⁡ n π sen ⁡ n x ,     n = 0,1 , 2 , …

Passo 5

b)

Vamos substituir valores de n para analisarmos b n . Toda vez que n   for par, teremos que cos ⁡ n π = 1 e, consequentemente, teremos b n = 0 . Já quando n for impar, teremos que cos ⁡ n π = - 1 e, consequentemente, teremos b n = 4 n π .

b n = b 2 n = 0 ,   n ≥ 1 b 2 n - 1 = 4 2 n - 1 ,   n ≥ 1  

Logo poderemos escrever a série como

f x = ∑ n = 1 ∞ 4 ( 2 n - 1 ) π sen ⁡ ( 2 n - 1 ) x

Passo 6

Se colocarmos x = π / 2 teremos o seguinte resultado.

sen ⁡ ( 2 n - 1 ) π 2 = - 1   s e   n   f o r   p a r 1   s e   n   f o r   i m p a r  

Disso podemos escrever esse seno como

sen ⁡ 2 n - 1 π 2 = - 1 n + 1   ,   n ≥ 1

Assim poderemos escrever a série como

f π 2 = ∑ n = 1 ∞ 4 - 1 n + 1 ( 2 n - 1 ) π

Como 0 < π 2 < π a nossa função define que

f π 2 = 1

Assim teremos

1 = ∑ n = 1 ∞ 4 - 1 n + 1 ( 2 n - 1 ) π

π 4 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1

Que é o resultado que estávamos procurando

Resposta

a)

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n π 1 - cos ⁡ n π sen ⁡ n x

b)

π 4 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1

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