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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja:

f x = 0 ,     0 < x < 2 5 ,     2 < x < 4 3 ,     4 < x < 6

  1. Esboce o gráfico da extensão ímpar e periódica de período 12 de f x . Defina a função nos pontos de descontinuidade de forma que sua série de Fourier convirja para esse valor
  2. Calcule a série de Fourier da extensão ímpar de f x determinada no item a

Passo 1

Falai galera, vamos começar? Então, olha, uma função ímpar é uma função que tem sempre:

f x = - f - x

Em grafiquês, é como se a função fosse espelhada em relação ao eixo O x e depois em relação ao eixo O y (ou vice-versa). Pegando então nosso f x :

f x = 0 ,     0 < x < 2 5 ,     2 < x < 4 3 ,     4 < x < 6

Podemos espelhar ele pra achar a extensão ímpar:

E a lei de formação dessa função espelhada é:

f x = - 3 ,     - 6 < x < - 4 - 5 ,     - 4 < x < - 2                                       0 ,     x ∈       ] - 2,0 [       ∪       ] 0,2 [ 5 ,                         2 < x < 4 3 ,                         4 < x < 6

f x + 12 = f x

Vemos que essa extensão tem um problema. Na verdade, tem 7 problemas, que são os 7 pontos de descontinuidade. Podemos usar o Teorema da Convergência de Fourier que diz que nos pontos de descontinuidade a Série de Fourier converge para:

f x + + f x - 2

Como os pontos de descontinuidade são x = - 6 , x = - 4 , x = - 2 , x = 0 , x = 2 , x = 4 , x = 6 . Fazemos, pra esses pontos, nessa ordem:

f - 6 + + f - 6 - 2 = - 3 + 3 2 = 0

f - 4 + + f - 4 - 2 = - 5 - 3 2 = - 4

f - 2 + + f - 2 - 2 = 0 - 5 2 = - 2,5

f - 0 + + f - 0 - 2 = 0 + 0 2 = 0

f 2 + + f 2 - 2 = 5 + 0 2 = 2,5

f 4 + + f 4 - 2 = 3 + 5 2 = 4

f 6 + + f 6 - 2 = - 3 + 3 2 = 0

Logo o gráfico fica:

E a função:

f x = 0 ,                                       x = - 6 - 3 ,                   - 6 < x < - 4 - 4 ,                                             x = - 4 - 5 ,     - 4 < x < - 2 - 2,5 ,                                                 x = - 2 0 ,     - 2 < x < 2 2,5 ,                                                 x = 2 5 ,                         2 < x < 4 4 ,                                         x = 4 3 ,                       4 < x < 6 0 ,                                       x = 6

f x + 12 = f x

Passo 2

A série de Fourier galera, vai ter essa cara aqui:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

Onde 2 L é o período da função. Nesse caso, vamos ter 2 L = 12 e logo L = 6 . Temos uma facilidade na nossa vida aqui, no entanto! Como nossa f x é uma função ímpar, não vamos precisar calcular termos de a 0 ! Afinal:

f x cos ⁡ n π x L = í m p a r ∙ p a r = í m p a r

E toda integral de função impar do tipo:

∫ - a a f u n ç ã o   í m p a r   d x = 0

Nossa série de Fourier fica mais simples:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

E ainda dá pra simplificar mais ainda. Afinal, como seno é uma função ímpar, temos:

f x sen ⁡ n π x L = í m p a r ∙ í m p a r = p a r

E portanto, como vale:

∫ - a a f u n ç ã o   p a r   d x = 2 ∫ 0 a f u n ç ã o   p a r   d x

Temos:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x 6

b n = 2 6 ∫ 0 6 f x sen ⁡ n π x 6 d x

Vamos continuar daí em diante no próximo passo, ok?

Passo 3

Show! Vamos lá! Primeira coisa a fazer é achar b n . Lembra lá do enunciado que tínhamos:

f x = 0 ,     0 < x < 2 5 ,     2 < x < 4 3 ,     4 < x < 6

Lembrou? Portanto b n fica:

b n = 1 3 ∫ 0 2 0 ∙ sen ⁡ n π x 6 d x + ∫ 2 4 5 ∙ sen ⁡ n π x 6 d x + ∫ 4 6 3 ∙ sen ⁡ n π x 6 d x

b n = 1 3 5 ∙ ∫ 2 4 sen ⁡ n π x 6 d x + 3 ∙ ∫ 4 6 sen ⁡ n π x 6 d x

Duas integrais da mesma coisa mas com limites de integração diferentes. Bem, de forma indefinida, temos:

∫ sen ⁡ n π x 6 d x = - 6 n π cos ⁡ n π x 6

Aplicando os limites de integração, temos então:

b n = - 1 3 ∙ 6 n π ∙ 5 ∙ cos ⁡ n π x 6 x = 2 x = 4 + 3 ∙ cos ⁡ n π x 6 x = 4 x = 6

b n = - 2 n π ∙ 5 ∙ cos ⁡ 4 n π 6 - cos ⁡ 2 n π 6 + 3 ∙ cos ⁡ 6 n π 6 - cos ⁡ 4 n π 6

Fazendo a distributiva das constantes e juntando o termo em comum:

b n = - 2 n π ∙ 5 cos ⁡ 2 n π 3 - 5 cos ⁡ n π 3 + 3 cos ⁡ n π - 3 cos ⁡ 2 n π 3

b n = - 2 n π ∙ 2 cos ⁡ 2 n π 3 - 5 cos ⁡ n π 3 + 3 cos ⁡ n π

Olha, aqui praticamente acabou viu? Vamos só tentar simplificar isso!

Passo 4

Show, nota o seguinte. Indo de n = 1 até n = 6 , vemos que:

2 cos ⁡ 2 π 3 - 5 cos ⁡ π 3 + 3 cos ⁡ π = - 1 - 2,5 - 3 = - 6,5

2 cos ⁡ 4 π 3 - 5 cos ⁡ 2 π 3 + 3 cos ⁡ 2 π = - 1 + 2,5 + 3 = 4,5

2 cos ⁡ 6 π 3 - 5 cos ⁡ 3 π 3 + 3 cos ⁡ 3 π = 2 + 5 - 3 = 4

2 cos ⁡ 8 π 3 - 5 cos ⁡ 4 π 3 + 3 cos ⁡ 4 π = - 1 + 2,5 + 3 = 4,5

2 cos ⁡ 10 π 3 - 5 cos ⁡ 5 π 3 + 3 cos ⁡ 5 π = - 1 - 2,5 - 3 = - 6,5

2 cos ⁡ 12 π 3 - 5 cos ⁡ 6 π 3 + 3 cos ⁡ 6 π = 2 - 5 + 3 = 0

Se formos continuar vendo isso pra mais n , veremos que a sequência de valores se repete, assim:

2 cos ⁡ 2 n π 3 - 5 cos ⁡ n π 3 + 3 cos ⁡ n π =

= - 6,5 ,     s e   n = 1 + 6 k ,     p a r a   k = 0,1 , 2,3 … 4,5 ,     s e   n = 2 + 6 k ,     p a r a   k = 0,1 , 2,3 … 4 ,     s e   n = 3 + 6 k ,     p a r a   k = 0,1 , 2,3 … 4,5 ,     s e   n = 4 + 6 k ,     p a r a   k = 0,1 , 2,3 … - 6,5 ,     s e   n = 5 + 6 k ,     p a r a   k = 0,1 , 2,3 … 0 ,     s e   n = 6 + 6 k ,     p a r a   k = 0,1 , 2,3 …

Portanto, podemos separar b n em 6 partes também, já que:

b n = - 2 n π ∙ 2 cos ⁡ 2 n π 3 - 5 cos ⁡ n π 3 + 3 cos ⁡ n π

Vamos ter:

b n = 13 n π ,     s e   n = 1 + 6 k ,     p a r a   k = 0,1 , 2,3 … - 9 n π ,     s e   n = 2 + 6 k ,     p a r a   k = 0,1 , 2,3 … - 8 n π ,     s e   n = 3 + 6 k ,     p a r a   k = 0,1 , 2,3 … - 9 n π ,     s e   n = 4 + 6 k ,     p a r a   k = 0,1 , 2,3 … 13 n π ,     s e   n = 5 + 6 k ,     p a r a   k = 0,1 , 2,3 … 0 ,     s e   n = 6 + 6 k ,     p a r a   k = 0,1 , 2,3 …

Separando a série de Fourier em termos adequaods

f x = ∑ k = 0 ∞ b 1 + 6 k sen ⁡ 1 + 6 k π x 6 + ∑ k = 0 ∞ b 2 + 6 k sen ⁡ 2 + 6 k π x 6 + ∑ k = 0 ∞ b 3 + 6 k sen ⁡ 3 + 6 k π x 6 + ∑ k = 0 ∞ b 4 + 6 k sen ⁡ 4 + 6 k π x 6 + ∑ k = 0 ∞ b 5 + 6 k sen ⁡ 5 + 6 k π x 6 + ∑ k = 0 ∞ b 6 + 6 k sen ⁡ 6 + 6 k π x 6

Basta agora pra gente fechar, substituir os valores de b que achamos! Saca só:

f x = ∑ k = 0 ∞ 13 1 + 6 k π ∙ sen ⁡ 1 + 6 k π x 6 - ∑ k = 0 ∞ 9 2 + 6 k π ∙ sen ⁡ 2 + 6 k π x 6 - ∑ k = 0 ∞ 8 3 + 6 k π ∙ sen ⁡ 3 + 6 k π x 6 - ∑ k = 0 ∞ 9 4 + 6 k π ∙ sen ⁡ 4 + 6 k π x 6 + ∑ k = 0 ∞ 13 5 + 6 k π ∙ sen ⁡ 5 + 6 k π x 6

Resposta

Bem, você pode responder:

f x = - ∑ n = 1 ∞ 2 n π ∙ 2 cos ⁡ 2 n π 3 - 5 cos ⁡ n π 3 + 3 cos ⁡ n π ∙ sen ⁡ n π x 6

Ou:

f x = ∑ k = 0 ∞ 13 1 + 6 k π ∙ sen ⁡ 1 + 6 k π x 6 - ∑ k = 0 ∞ 9 2 + 6 k π ∙ sen ⁡ 2 + 6 k π x 6 - ∑ k = 0 ∞ 8 3 + 6 k π ∙ sen ⁡ 3 + 6 k π x 6 - ∑ k = 0 ∞ 9 4 + 6 k π ∙ sen ⁡ 4 + 6 k π x 6 + ∑ k = 0 ∞ 13 5 + 6 k π ∙ sen ⁡ 5 + 6 k π x 6

Você que sabe hahaha

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