Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

Ver Teoria

Enunciado

Considere f : 0 , π → R dada por

f x = 0   s e   0 ≤ x < π / 2 x   s e   π / 2 ≤ x ≤ π

  1. Determine a série de Fourier em cossenos de f .
  2. Seja S x a soma da série de cossenos de f , esboce seu gráfico em - 3 π , 3 π .
  3. Sendo S x definida no item anterior, qual o valor de S 59 π / 2 ?

Passo 1

Beleza, vamos começar com a letra (a). Como o problema pede a série de Fourier em cossenos, então ele quer que façamos a extensão par desta função f x . Vamos chamar esta extensão de f - x . Como é a extensão par, então precisamos que

f - x = f - - x

Assim, vamos ter:

f - x = 0 ,     s e - π / 2 < x < 0

Uma vez que f - - x = 0 = f - x . E também:

f - x = - x ,     s e - π ≤ x < - π / 2

Já que

  f - - x = - - x = x = f - x ,     e m   π / 2 < x ≤ π .

Beleza. Feito isso, vamos considerar a periodicidade. Como definimos as expressões para o intervalo - π , π , então teremos que f - x é 2 π - períodica.

f - x = - x ,     - π ≤ x < - π / 2 0 ,   - π / 2 < x < 0 0 ,         0 ≤ x < π / 2 x ,     π / 2 < x ≤ π

f - x + 2 π = f - x

Show, então vamos determinar a série de Fourier em cossenos a partir disso agora. Ele pediu a série de Fourier em cossenos, vamos lembrar das nossa fórmulas:

f - x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 2

a 0 = ∫ - L L f - x d x

a n = 1 L ∫ - L L f - x cos ⁡ n π x L d x ,     n ≥ 1

Onde L = π nesse caso. Começamos com a 0 :

a 0 = ∫ - L L f - x d x = ∫ - π π f - x d x

Como a extensão é par, então podemos fazer

∫ - π π f - x d x = 2 ∫ 0 π f - x d x = 2 + ∫ 0 π / 2 0 ⋅ d x + ∫ π / 2 π x d x =

x 2 ​ π / 2 π = π 2 - π 2 4 = 3 π 2 4

E esse vai ser nosso a 0 :

a 0 = 3 π 2 4

Um já foi, vamos agora para o a n :

a n = 1 L ∫ - L L f - x cos ⁡ n π x L d x = 1 π ∫ - π π f - x cos ⁡ n x d x

Show, como a extensão é par e o cosseno é uma função par, então o integrando dado pelo produto das duas também será par, assim:

a n = 2 π ∫ 0 π f - x cos ⁡ n x d x = 2 π ∫ π / 2 π x cos ⁡ n x d x

Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes. Usando o LIATE, teremos

u = x v = sen ⁡ n x n d u = d x d v = cos ⁡ n x d x

Portanto, vamos ter:

∫ π / 2 π x cos ⁡ n x d x = x sen ⁡ n x n π / 2 π - 1 n ∫ π / 2 π sen ⁡ n x d x =

x sen ⁡ n x n π / 2 π + cos ⁡ n x n 2 π / 2 π = π sen ⁡ n π n - π 2 n sen ⁡ n π 2 + cos ⁡ n π n 2 - cos ⁡ n π 2 n 2

Teremos que sen ⁡ n π = 0 para todo n e cos ⁡ n π = - 1 n .

Assim, nossa vai ficar:

a n = 2 π ∫ π / 2 π x cos ⁡ n x d x = - 1 n sen ⁡ n π 2 - 1 n 2 ,       n   í m p a r - 1 n n 2 - cos ⁡ n π 2 n 2 ,       n   p a r

Para poder escrever isso na série, para valores ímpares, definimos

n = 2 m + 1

Aí vamos ter:

a m = - 1 2 m + 1 sen ⁡ 2 m + 1 π 2 - 1 2 m + 1 2 =

Como

sen ⁡ 2 m + 1 π 2 = sen ⁡ m π + π 2 = sen ⁡ m π ⋅ cos ⁡ π 2 + cos ⁡ m π ⋅ sen ⁡ π 2 = - 1 m ,

Então, vamos ficar com: a m = - - 1 m 2 m + 1 - 1 2 m + 1 2

Fazendo a mesma coisa para n par, vamos definir:

n = 2 k

Aí teremos a k = - 1 k 4 k 2 - cos ⁡ 2 k π 2 4 k 2 = - 1 k 4 k 2 - cos ⁡ k π 4 k 2 = - 1 k 4 k 2 - - 1 k 4 k 2 = 0

Aí, depois desta conta toda, vemos que teremos a m referente aos teremos ímpares. Substituindo na fórmula da série em cossenos, vai ficar: f - x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 2

f - x = 3 π 2 8 + ∑ m = 1 ∞ - - 1 m 2 m + 1 - 1 2 m + 1 2 cos ⁡ 2 m + 1 π x 2

Passo 2

A letra (a) tardou, mas foi. Vamos agora para a letra (b) que vai sair mais naturalmente. Vimos que a expansão par é dada pela expressão

f - x = - x ,     - π ≤ x < - π / 2 0 ,   - π / 2 < x < 0 0 ,         0 ≤ x < π / 2 x ,     π / 2 < x ≤ π

f - x + 2 π = f - x

Aí, basta colocarmos no gráfico agora. Começamos com - π , - π / 2 :

Agora, vamos para o intervalo - π / 2 , π / 2 em que a função vale zero:

Agora, o intervalo π / 2 , π em que tem expressão x :

Agora, com a função é periódica, repetimos o gráfico até completar o intervalo - 3 π , 3 π que foi pedido:

Acabou? Não! Ficarão faltando os pontos de descontinuidade que estão nestes saltos aí. Pelo teorema da série de Fourier, a série vai convergir para o valor médio da função no ponto de descontinuidade.

Então vamos pegar um ponto de descontinuidade que pode ser na troca da expressão de 0 para x em x = π / 2 . Assim, vamos ter:

f - π 2 = f π 2 - + f π 2 + 2 = 0 + π 2 2 = π 4

Al��m disso, olhando para o gráfico, todos os pontos de descontinuidade terão esse valor e fechamos o esboço marcando-os:

Passo 3

Agora vamos para a letra (c), teremos que, pela série de Fourier da extensão:

S 59 π / 2 = f - 59 π / 2 = f - 56 π 2 + 3 π 2 = f - 28 π + 3 π 2 = f - 14 ⋅ 2 π + 3 π 2

Como a função é 2 π periódica:

= f - 14 ⋅ 2 π + 3 π 2 = f - 3 π 2

E lá do gráfico da (b) na descontinuidade, teremos:

S 59 π / 2 = f - 3 π 2 = π 4

Resposta

a)

f - x = 3 π 2 8 + ∑ m = 1 ∞ - - 1 m 2 m + 1 - 1 2 m + 1 2 cos ⁡ 2 m + 1 π x 2

b)

c)

S 59 π / 2 = f - 3 π 2 = π 4

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Sejam v 1 ,v 2 e v 3 três vetores ortogonais dois a dois em três dimensões, e seja u qualquer vetor tridimensional. Mostre que u = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 , Em que a i = u ∙ v i v i ∙ v i , i
f x = x 2 2 ,- 2 ≤ x2 f x + 4 = f ( x ) (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.(c) Faça o gráfico da soma parcial s m ( x ) em função
Considere a função f definida no problema 21, e seja e m = f x - s m ( x ) . f x = x 2 2 ,- 2 ≤ x2 f x + 4 = f ( x ) (a) Faça o gráfico de e m ( x ) em função de x para 0 ≤ x ≤ 2 para diversos valores
f x = x ,- 1 ≤ x1 f x + 2 = f ( x ) (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.(c) Faça o gráfico da soma parcial s m ( x ) em função de
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. x 2