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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja f x = 1 2 - x para 0 , 1 2 e S ( x ) a soma da série de senos de f . No intervalo I = 11 2 , 13 2 , S ( x ) é dada por:

a   S x = - 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 - 13 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

b   S x = - 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 13 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

c   S x = 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 1 2 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

d   S x = 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 13 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

e   S x = 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 - 13 2 + x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

Passo 1

Cara, vamos começar fazendo o seguinte: como temos uma extensão ímpar de f , temos que:

P a r a   x ∈ - 1 2 , 0 ,     f ( x ) = - f ( - x )

Então vamos olhar esse intervalo aqui:

11 2 < x < 12 2 → - 1 2 < x - 12 2 < 0

Então o valor de f em x - 12 2 será:

S x = - f - x - 12 2 = - f 12 2 - x

S x = - 1 2 + 12 2 - x = 11 2 - x

Passo 2

E olhando o intervalo:

12 2 < x < 13 2 → 0 < x - 12 2 < 1 2

Então o valor de f em x - 12 2 será:

S x = f x - 12 2 = 1 2 - x - 12 2 = 13 2 - x

Passo 3

Agora para encontrar os valores em x = 11 2 , 12 2 , 13 2 , vamos ver o seguinte:

Perceba que como a função tem período 1 , S 11 2 = S 13 2 = f 1 2 = 0

Agora em x = 12 2 , faremos:

S 12 2 = lim x → 12 2 + ⁡ f + lim x → 12 2 - ⁡ f 2 = - 1 2 + 1 2 2 = 0

Resposta

d   S x = 11 2 - x ,     11 2 < x < 12 2 13 2 - x ,     12 2 < x < 13 2 0 ,     x = 11 2 , 12 2 , 13 2

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