Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja f : R → R a função par e periódica de período 2 π , tal que f x = x para 0 ≤ x < π

a)Encontre a série de Fourier de f(x)

b)Usando (a) determine a soma da série numérica

∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

Passo 1

a)

Ele já disse que a função é par, então desenhar ela é meio que perda de tempo se ele não pediu. A gente desenha para ver se a função tem algum padrão que torne ela par ou ímpar, como já sabemos, vamos simbora resolver então.

Começamos sempre determinando os coeficientes, como a função é par:

a 0 = 2 L ∫ 0 L f x d x = 2 L ∫ 0 L x d x

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x = 2 L ∫ 0 L x cos ⁡ n π x L d x

b n = 0

Mas sabemos que 2 L = 2 π → L = π , substituindo:

a 0 = 2 π ∫ 0 π x d x

a n = 2 π ∫ 0 π x cos ⁡ ( n x ) d x

Passo 2

Então vamos calcular esses coeficientes

a 0 = 2 π ∫ 0 π x d x = 2 π x 2 2 0 π = 1 π π 2 2 = π

Vamos pro próximo:

a n = 2 π ∫ 0 π x cos ⁡ ( n x ) d x

Esse cara é mais complicado, vamos ter que fazer uma integração por partes

u = x → d u = d x

d v = cos ⁡ ( n x ) d x → v = 1 n sen ⁡ ( n x )  

a n = 2 π u v 0 π - ∫ 0 π v d u a n = 2 π x n sen ⁡ n x 0 π - 1 n ∫ 0 π sen ⁡ n x d x

a n = 2 π 1 n 2 cos ⁡ n x 0 π = 2 π cos ⁡ ( n π ) - 1 n 2

Passo 3

Então a série de Fourier que é

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L

Substituindo os valores, fica

f x = π 2 + ∑ n = 1 ∞ 2 π cos ⁡ ( n π ) - 1 n 2 cos ⁡ ( n x )

Vamos só fazer uma análise:

n = 1 cos ⁡ 1 π = - 1 n = 2 cos ⁡ 2 π = 0 n = 3 cos ⁡ 3 π = - 1  

Daí a gente tira que:

cos ⁡ n π = - 1 n

Assim fica:

f x = π 2 + 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 2 cos ⁡ ( n x )

Mas para n = p a r a gente ve que o coeficiente do somatório da 0 , logo a gente pode evidenciar isso:

n = p a r - 1 n - 1 n 2 = 0 n = í m p a r - 1 n - 1 n 2 = - 2 n

Então escrevendo somente os ímpares no somatório:

f x = π 2 + 2 π ∑ n = 1 ∞ - 2 ( 2 n - 1 ) 2 cos ⁡ ( [ 2 n - 1 ] x )

Tchã! Finish.

Passo 4

b)Usando (a) determine a soma da série numérica ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

Ele já deu a dica que devemos usar a letra (a). Da uma olhada no que obtemos:

f x = π 2 + 4 π ∑ n = 1 ∞ - 1 ( 2 n - 1 ) 2 cos ⁡ ( [ 2 n - 1 ] x )

Ok ok, reclama que ∑ n = 1 ∞ - 2 ( 2 n - 1 ) 2 é bemmmm próximo do que ele tá pedindo, daí a gente mataria rápido se a gente soubesse o valor desse somatório. Mas como eliminar esse cosseno? Perceba que o argumento do cosseno é sempre um número ímpar vezes x , hmmm, se esse x for igual a π então será sempre cos ⁡ ( í m p a r . π ) = - 1 ! Então esse cosseno some! Mas opa, f x = x   p a r a   0 ≤ x ≤ π , então f π = π

Substituindo isso:

f π = π = π 2 + 4 π ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n - 1 2 ( - 1 ) = π 2 + 4 π ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2

Agora é só desenvolver a conta:

4 π ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2 = π - π 2 = π 2

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2 = π 2 8

Fechou!

Resposta

a)

f x = π 2 + 2 π ∑ n = 1 ∞ - 2 ( 2 n - 1 ) 2 cos ⁡ ( [ 2 n - 1 ] x )

b)

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2 = π 2 8

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