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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

A integral

∫ 0 π x - c 1 sen ⁡ x - c 2 sen ⁡ 2 x 2 d x

Assume seu menor valor para c 1 e c 2 , respectivamente iguais a:

a   2   e - 2

b   2   e - 1

c   1   e - 1

d   1   e   0

e - 2   e - 2

Passo 1

O menor valor assumido por essa integral é quando c 1 e c 2 são os coeficientes de Fourier da extensão ímpar da função f x = x no intervalo 0 , π :

c 1 = 2 π ∫ 0 π x s e n x d x

Aqui vamos usar a integração por partes. Lembra da fórmula? Olha só:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamando:

u = x → d u = d x

d v = sen ⁡ x d x → v = - cos ⁡ x

Então ficamos com:

2 π ∫ 0 π x sen ⁡ x d x = 2 π - x cos ⁡ x 0 π + ∫ 0 π co s ⁡ x d x

2 π ∫ 0 π x sen ⁡ x d x = 2 π - x cos ⁡ x 0 π + sen ⁡ x 0 π

2 π ∫ 0 π x sen ⁡ x d x = 2 π - π cos ⁡ π + 0 cos ⁡ 0 + sen ⁡ π - sen ⁡ 0

2 π ∫ 0 π x sen ⁡ x d x = 2 π π = 2

Passo 2

Agora o próximo caso:

c 2 = 2 π ∫ 0 π x s e n 2 x d x

Aqui vamos usar a integração por partes. Lembra da fórmula? Olha só:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamando:

u = x → d u = d x

d v = sen ⁡ 2 x d x → v = - cos ⁡ 2 x 2

Então ficamos com:

2 π ∫ 0 π x sen ⁡ 2 x d x = 2 π - x cos ⁡ 2 x 2 0 π + ∫ 0 π cos ⁡ 2 x 2 d x

2 π ∫ 0 π x sen ⁡ 2 x d x = 2 π - x cos ⁡ 2 x 2 0 π + sen ⁡ 2 x 4 0 π

2 π ∫ 0 π x sen ⁡ 2 x d x = 2 π - π cos ⁡ 2 π 2 + 0 cos ⁡ 0 2 + sen ⁡ 2 π 4 - sen ⁡ 0 4

2 π ∫ 0 π x sen ⁡ n x d x = 2 π - π 2 = - 1

Resposta

b   2   e - 1

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