Responde Aí

Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

Ver Teoria

Enunciado

Seja f x = s e n π x 2 para x ∈ [ 0,1 ] .

( a ) Calcule a série de Fourier em senos da função f ( x ) .

( b ) Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item ( a ) no intervalo [ - 3,3 ] .

c Calcule o valor limite da série

∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 1 + 2 k 1 + 2 k 2 - 1 / 4

Passo 1

a Vamos lembrar nossas fórmulas pras séries de Fourier em senos, fera!

f x = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x L

b n = 2 L   ∫ 0 L f x s e n n π x L d x     n = 1,2 , 3 …

No nosso caso, L   = 1 !

Passo 2

Vamos começar achando b n substituindo as coisas na fórmula:

b n = 2   ∫ 0 1 s e n π x 2 s e n n π x d x

Lembrando da seguinte propriedade:

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n a s e n ( b )

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n a s e n ( b )

Subtraindo uma da outra:

cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b = 2 s e n a s e n ( b )

cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b 2 = s e n a s e n ( b )

Repara agora que podemos substituir aquele produto de senos na integral por essa relação aqui em cima:

b n = 2   ∫ 0 1 s e n π x 2 s e n n π x d x → b n = 2   ∫ 0 1 c o s π x 2 - n π x - c o s π x 2 + n π x 2 d x

Passo 3

Resolvendo a integral agora:

b n = ∫ 0 1 c o s π x 2 - n π x - c o s π x 2 + n π x d x = s e n x π 1 2 - n π 1 2 - n - s e n x π 1 2 + n π 1 2 + n 0 1

b n = s e n π 1 2 - n π 1 2 - n - s e n π 1 2 + n π 1 2 + n - s e n 0 π 1 2 - n + s e n 0 π 1 2 - n

b n = 2 s e n π 2 - n π π 1 - 2 n - 2 s e n π 2 + π n π 1 + 2 n

Aqui vamos usar o seno da soma:

s e n π 2 - n π = s e n π 2 cos ⁡ n π - s e n n π cos ⁡ π 2 = c o s ⁡ ( n π )

s e n π 2 + π n = s e n π 2 cos ⁡ π n + s e n π n cos ⁡ π 2 = cos ⁡ π n

Maneiro! Mas agora podemos escrever o cosseno em função de n , dessa maneira:

n = 1 → cos ⁡ π = - 1

n = 2 → cos ⁡ 2 π = 1

n = 3 → cos ⁡ 3 π = - 1

Então, de forma geral:

cos ⁡ n π = - 1 n

Logo,

b n = 2 π - 1 n 1 - 2 n - - 1 n 1 + 2 n = 2 - 1 n π 1 + 2 n - 1 - 2 n 1 + 2 n 1 - 2 n

b n = 2 - 1 n π 4 n 1 - 4 n 2 = 2 - 1 n π n 1 / 4 - n ²

Passo 4

Juntando as duas:

b n = 2 - 1 n π n 1 / 4 - n ²

Então nossa função fica:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L =   ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n π n 1 / 4 - n ² sen ⁡ n π x

Passo 5

( b ) Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item ( a ) no intervalo [ - 3,3 ] .

Para esboçar o gráfico dessa função vamos ter que a expandir. E não podemos nos esquecer de que tem que ser uma expansão ímpar pra ficarmos com uma série de Fourier em senos! Todo esse desenvolvimento da letra a foi feito assumindo uma expansão ímpar de f x 😉

Vamos começar com a noção intuitiva do gráfico e depois faremos matematicamente. Bora começar desenhando nossa f ( x ) :

Agora a gente reflete no eixo y :

E finalmente, a gente reflete no eixo x , isso nos dá a extensão ímpar da função:

E a parte que nos interessa é a união da linha azul com a vermelha, que eu vou colorir de verde, ok?

Legal! Agora faremos isso matematicamente. Vamos chamar de g x essa expansão. Nossa função ímpar tem que obedecer:

g - x = - g x

Então vamos ficar com:

g x = s e n x π 2 ,     s e - 1 ≤ x < 1

Agora é só repetir isso aí periodicamente:

g x = g x + 1

Outra coisa importante pra lembrar é que essa g x é a extensão ímpar da nossa f x , mas o que a letra está pedindo é o gráfico da série de Fourier! A única diferença é que, nos pontos de descontinuidade vamos ter que tirar a média! Assim olha:

Passo 6

( c ) Calcule o valor limite da série

∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 1 + 2 k 1 + 2 k 2 - 1 / 4

Vou logo avisando pra se preparar porque essa letra não é muito bonita não haha.

Bom, certamente nós vamos ter que usar aquela série de Fourier da letra a pra alguma coisa né? Então vamos jogar ela aqui:

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n π n 1 / 4 - n ² sen ⁡ n π x

Agora você tinha que ter uma iluminação divina de pensar em usar o ponto x = 1 2 ! Ué, mas por que x = 1 2 ? Porque assim aparece o termo sen ⁡ n π 2 que sabemos ser 0 quando n é par! Pois é! Ficaria assim: f 1 2 = ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n π n 1 / 4 - n ² sen ⁡ n π 2 = 2 2

Lembrando que:

f x = s e n π x 2

Para x = 1 / 2 temos:

f 1 2 = s e n π 4 = 2 2

Com isso, a gente pode desconsiderar os n pares e pegar só os ímpares pela mudança n = 2 k + 1 :

∑ k = 0 ∞ - 1 2 k + 1 2 k + 1 1 4 - 2 k + 1 2 sen ⁡ 2 k + 1 π 2 = 2 π 2

∑ k = 0 ∞ - 1 2 k 2 k + 1 2 k + 1 2 - 1 / 4 sen ⁡ ( 2 k + 1 ) π 2 = 2 π 2

Repare que temos:

k = 0 ⇒ n = 1

k = 1 ⇒ n = 3

Show?

Ta ficando parecido com o que a letra c pede, hein! Vamos dar uma mexida agora naquele - 1 2 k que ta diferente:

∑ k = 0 ∞ - 1 2 k 2 k + 1 2 k + 1 2 - 1 / 4 sen ⁡ ( 2 k + 1 ) π 2

Po, mas - 1 elevado à um número par é sempre 1 ! Então:

∑ k = 0 ∞ 2 k + 1 2 k + 1 2 - 1 / 4 sen ⁡ ( 2 k + 1 ) π 2 = 2 π 2

Agora a gente desenvolve esse seno:

sen ⁡ 2 k + 1 π 2 = sen ⁡ k π + π 2

Agora você tinha que buscar lá do fundo do baú das lembranças que sen ⁡ θ + π 2 = cos ⁡ θ ! Aí ficamos com:

sen ⁡ k π + π 2 = cos ⁡ k π

E agora repara que se m for par, o cosseno vale 1 e se for ímpar, o cosseno vale - 1 ! Então:

cos ⁡ k π = - 1 k

Substituindo:

∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 2 k + 1 2 k + 1 2 - 1 4 = 2 π 2

Aeeeeee!!!! Finalmente encontramos!

Resposta

a   f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L =   ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n π n 1 / 4 - n ² sen ⁡ n π x

b

c   ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 2 k + 1 2 k + 1 2 - 1 4 = 2 π 2

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Sejam v 1 ,   v 2 e v 3 três vetores ortogonais dois a dois e
f x = x 2 2 ,   - 2 ≤ x < 2 f x + 4 = f ( x ) (a) Esboce o gr
Considere a função f definida no problema 21, e seja e m = f x - s m (
f x = x ,   - 1 ≤ x < 1 f x + 2 = f ( x ) (a) Esboce o gráfic