Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja f : [ 0,1 ] → R a função definida por

f ( x ) = 1 - x

  1. Seja f ~ a extensão ímpar e periódica de período 2 da função f . Esboce o gráfico de f ~ no intervalo [ - 4,2 ] .
  2. Encontre a série de Fourier de f ~ .

Passo 1

Temos aqui uma função de uma variável arbitrária em um intervalo [ 0,1 ] que leva aos reais, definida pela forma funcional

f ( x ) = 1 - x

A primeira alternativa quer a extensão ímpar de período 2 desta função, e que façamos o seu esboço! Isto será necessário para que calculemos a série de Fourier na alternativa b).

Vamos começar escrevendo a extensão ímpar periódica e esboçando o gráfico desta função! Após, utilizaremos a definição de Série de Fourier para resolver a segunda alternativa! Vem comigo!

Passo 2

Temos que a nossa função definida em [ 0,1 ] tem o seguinte comportamento

Se lembrarmos que por definição, uma função ímpar respeita a propriedade f ( - x ) = - f ( x ) , temos que

g ( x ) = f ( - x ) = 1 + x

E como, precisamos que f ( - x ) = - f ( x ) , temos que a extensão ímpar será

g ( x ) = - ( 1 + x )

definida no intervalo ( - 1,0 ] . Ou seja, temos que f ~ é definida tal que

f ~ : = (   f ( x ) = 1 - x ,   x : [ 0,1 ] )   e   f ~ : = ( g ( x ) = - 1 - x ,   x : ( - 1,0 ] )  

O gráfico desta extensão ímpar no intervalo [ - 4,2 ] tem a forma

Esta é a primeira alternativa! Agora vamos calcular a série de Fourier desta função! Note que esta é uma função ímpar! Portanto, a série será uma série de senos! Você lembra o que isso quer dizer? Se não, vamos relembrar agorinha mesmo!

Passo 3

Temos que uma série de Fourier é definida tendo em vista a seguinte expansão

f ~ = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n c o s ( n π x L ) + ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x L )           ( 1 )

em que podemos calcular os coeficientes utilizando as seguintes expressões

a 0 = 1 L ∫ - L L f ~ ( x ) d x

a n = 1 L ∫ - L L f ~ ( x ) c o s ( n π x L ) d x

b n = 1 L ∫ - L L f ~ ( x ) s e n ( n π x L ) d x

O fato de que f ~ ( x ) é uma função ímpar, facilita a nossa vida um bocado! Note que integrais de funções ímpares em intervalos simétricos são nulas! E, também lembre que se fizermos o produto de uma função par com uma função ímpar, temos uma função ímpar! Mas, se fizermos o produto de duas funções ímpares, temos uma função par. Isso é importante por quê? Note que em nosso caso, temos que L = 1 , e temos que f ~ ( x ) é ímpar. Você consegue afirmar algo sobre as integrais para os coeficientes tendo isso em mente? Vem comigo!

Passo 4

Vamos começar com a 0 , temos que

a 0 = ∫ - 1 1 f ~ ( x ) d x

Como temos um intervalo simétrico e f ~ ( x ) é ímpar, temos que a 0 = 0 . Agora, vamos analisar o coeficiente a n , temos que

a n = ∫ - 1 1 f ~ ( x ) c o s ( n π x ) d x

Como f ~ ( x ) é ímpar e c o s ( n π x ) é uma função par, temos que seu produto é uma função ímpar! Como nosso intervalo é simétrico, podemos garantir que a n = 0 . Só nos resta b n , temos que

b n = ∫ - 1 1 f ~ ( x ) s e n ( n π x ) d x

Agora temos que f ~ ( x ) é ímpar e s e n ( n π x ) também é ímpar, então o produto de ambas as funções é uma função par! Ou seja, no intervalo a integral não se anula, mas, pode ser reescrita como

b n = ∫ - 1 1 f ~ ( x ) s e n ( n π x ) d x = 2 ∫ 0 1 f ~ ( x ) s e n ( n π x ) d x

Nosso problema se resume agora em resolver a integral para este coeficiente! Bora lá!

Passo 5

Note que no intervalo da integral, temos que f ~ ( x ) = f ( x ) = 1 - x , portanto, temos que

b n = 2 ∫ 0 1 ( 1 - x ) s e n ( n π x ) d x = 2 ∫ 0 1 s e n ( n π x ) d x - 2 ∫ 0 1 x s e n ( n π x ) d x           ( 2 )

tudo que fiz foi aplicar a distributiva no parênteses e separar em duas integrais! A primeira integral pode ser identificada diretamente como uma integral conhecida, a segunda no entanto vai precisar ser integrada por partes! O primeiro resultado é

∫ 0 1 s e n ( n π x ) d x = - 1 n π [ c o s ( n π x ) ] 1 0 = 1 n π [ 1 - c o s ( n π ) ]           ( 3 )

Vamos guardar este resultado por hora! E resolver a integração por partes no segundo termo da equação (2). Vem comigo!

Passo 6

Temos a seguinte integral

∫ 0 1 x s e n ( n π x ) d x

Integrais que são polinômios vezes uma função trigonometria usualmente são convenientemente resolvidas integrando por partes. Se usarmos a regra do LIPTE (Logaritmo, Inversa, Polinomial, Trigonométrica e Exponencial) para escolhermos a prioridade da escolha de nosso u , temos que

u = x e d u = d x

e também temos que

d v = s e n ( n π x ) d x   e   v = - 1 n π c o s ( n π x )

Se aplicarmos a seguinte fórmulinha para a integração por partes

∫ a b u d v = u v | a b - ∫ a b v d u

Obtemos que

∫ 0 1 x s e n ( n π x ) d x = - 1 n π c o s ( n π x ) x | 0 1 + 1 n π ∫ 0 1 c o s ( n π x ) d x           ( 4 )

A integral restante pode ser identificada diretamente como uma integral conhecida, temos que

∫ 0 1 c o s ( n π x ) d x = 1 n π s e n ( n π x ) | 0 1 = 1 n π s e n ( n π )

Substituindo este resultado na equação (4), temos que

∫ 0 1 x s e n ( n π x ) d x = - 1 n π c o s ( n π ) + 1 n π [ 1 n π s e n ( n π ) ] = 1 ( n π ) 2 s e n ( n π ) - 1 n π c o s ( n π )             ( 5 )

Precisamos voltar com esse resultado dentro da equação (2)! Vamos fazer isso!

Passo 7

Utilizando a equação (5) e a equação (3) na equação (2) temos que

b n = 2 [ 1 n π [ 1 - c o s ( n π ) ]   ] - 2 [ 1 ( n π ) 2 s e n ( n π ) - 1 n π c o s ( n π ) ]

Podemos juntar alguns termos após expandir os produtos, para obter

b n = 2 n π - 2 ( n π ) 2 s e n ( n π )

Como temos que s e n ( n π ) = 0 , podemos garantir que

b n = 2 n π

Se substituirmos todos os resultados obtidos na equação (1), temos que

f ~ ( x ) = 2 π ∑ n = 1 ∞ 1 n

É a nossa série de Fourier! A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

f ~ ( x ) = 2 π ∑ n = 1 ∞ 1 n

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