Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja

f x = 0 0 < x ≤ 1 2 1 < x ≤ 2 0 2 < x < 3

a) Estenda f x para todos os outros valores reais de x como uma função par e periódica de período 6 . Esboce o gráfico da extensão.

Passo 1

( a ) Para estendermos essa função, vamos primeiro lembrar a fórmula para estender como uma função par.

g x = f ( x ) ,     0 ≤ x ≤ L f ( - x ) ,     - L < x < 0

g x + 2 L = g ( x )    

Lembrando que 2 L será o período, teremos L = 3 . Nossa função expandida será.

g x = 0 ,     - 3 < x < - 2 2 ,     - 2 ≤ x < - 1 0 ,     - 1 ≤ x < 0 0 ,     0 < x ≤ 1 2 ,     1 < x ≤ 2 0 ,     2 < x < 3  

Passo 2

Esboçando esse gráfico teremos.

Resposta

a)

g x = 0 ,     - 3 < x < - 2 2 ,     - 2 ≤ x < - 1 0 ,     - 1 ≤ x < 0 0 ,     0 < x ≤ 1 2 ,     1 < x ≤ 2 0 ,     2 < x < 3  

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