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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja

f x = 0 0 < x ≤ 2 x 2 < x ≤ 3

Encontre uma série de Fourier de senos que convirja para a função f x (Sugestão: considere a extensão ímpar de f x ). Para que valor converge essa série em x = 2 ?

Passo 1

( b ) Vamos seguir a dica de novo e fazer a expansão impar dessa vez. Lembrando da fórmula.

h x = f ( x ) ,     0 ≤ x ≤ L 0 ,     x = 0 , L , - f ( - x ) ,     - L < x < 0

h x + 2 L = h ( x )    

Vamos aplicar isso na nossa função.

f x = x ,     s e   - 3 < x < 2 0 ,     s e   - 2 ≤ x < 0 0 ,     s e   x = 0,3 0 ,     s e   0 < x ≤ 2   x ,     s e   2 < x ≤ 3

Agora podemos partir pro cálculo da série de Fourier em senos.

Passo 2

Lembrando da formula para esse caso.

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen n π x L    

Onde

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

Aplicando para o nosso caso.

b n = 2 3 ∫ 0 3 f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 2 3   ∫ 2 3 x sen ⁡ n π x 3 d x

Resolvendo a integral de ∫ x sen ⁡ n π x 3 d x

∫ x sen ⁡ n π x 3 d x = 9 sen ⁡ n π x 3 - 3 n π x cos ⁡ n π x 3 π 2 n 2  

Assim teremos

b n = 2 n 2 π 2 3 sen ⁡ n π - 3 n π cos ⁡ n π - 3 sen ⁡ 2 n π 3 + 2 n π cos ⁡ 2 n π 3

Mas nós já vimo o que vai acontecer com sen ⁡ n π   e cos ⁡ n π

b n = 2 n 2 π 2 - 3 - 1 n - 3 sen ⁡ 2 n π 3 + 2 n π cos ⁡ 2 n π 3

Assim a nossa função será.

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 π 2 - 3 - 1 n - 3 sen ⁡ 2 n π 3 + 2 n π cos ⁡ 2 n π 3 sen n π x 3    

Passo 3

Agora devemos analisara convergência em x = 2 que vai ser basicamente a mesma coisa. Para que a série convirja f ( 2 ) deve assumir aquele mesmo valor.

f 2 = 1

Resposta

b)

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 π 2 - 3 - 1 n - 3 sen ⁡ 2 n π 3 + 2 n π cos ⁡ 2 n π 3 sen n π x 3    

f 2 = 1

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