Responde Aí

Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

Ver Teoria

Enunciado

Seja:

f x = 0 ,     0 < x < 1 3 ,     1 < x < 2 6 ,     2 < x < 3

  1. Esboce o gráfico da extensão ímpar e periódica de período 6 de f x . Defina a função nos pontos de descontinuidade de forma que sua série de Fourier convirja para esse valor
  2. Calcule a série de Fourier da extensão ímpar de f x determinada no item a

Passo 1

Falai galera, vamos começar? Então, olha, uma função ímpar é uma função que tem sempre:

f x = - f - x

Em grafiquês, é como se a função fosse espelhada em relação ao eixo O x e depois em relação ao eixo O y (ou vice-versa). Pegando então nosso f x :

f x = 0 ,     0 < x < 1 3 ,     1 < x < 2 6 ,     2 < x < 3

Podemos espelhar ele pra achar a extensão ímpar:

E a lei de formação dessa função espelhada é:

f x = - 6 ,     - 3 < x < - 2 - 3 ,     - 2 < x < - 1                                       0 ,     x ∈       ] - 1,0 [       ∪       ] 0,1 [ 3 ,                         1 < x < 2 6 ,                         2 < x < 3

f x + 6 = f x

Vemos que essa extensão tem um problema. Na verdade, tem 7 problemas, que são os 7 pontos de descontinuidade. Podemos usar o Teorema da Convergência de Fourier que diz que nos pontos de descontinuidade a Série de Fourier converge para:

f x + + f x - 2

Como os pontos de descontinuidade são x = - 3 , x = - 2 , x = - 1 , x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 . Fazemos, pra esses pontos, nessa ordem:

f - 3 + + f - 3 - 2 = - 6 + 6 2 = 0

f - 2 + + f - 2 - 2 = - 3 - 6 2 = - 4,5

f - 1 + + f - 1 - 2 = 0 - 3 2 = - 1,5

f - 0 + + f - 0 - 2 = 0 + 0 2 = 0

f 1 + + f 1 - 2 = 3 + 0 2 = 1,5

f 2 + + f 2 - 2 = 6 + 3 2 = 4,5

f 3 + + f 3 - 2 = 6 - 6 2 = 0

Logo o gráfico fica:

E a função:

f x = 0 ,                                       x = - 3 - 6 ,     - 3 < x < - 2 - 4,5 ,                                                 x = - 2 - 3 ,     - 2 < x < - 1 - 1,5 ,                                                 x = - 1 0 ,     - 1 < x < 1 1,5 ,                                                 x = 1 3 ,     1 < x < 2 4,5 ,                                             x = 2 6 ,     2 < x < 3 0 ,                                   x = 3

f x + 6 = f x

Passo 2

A série de Fourier galera, vai ter essa cara aqui:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

Onde 2 L é o período da função. Nesse caso, vamos ter 2 L = 6 e logo L = 3 . Temos uma facilidade na nossa vida aqui, no entanto! Como nossa f x é uma função ímpar, não vamos precisar calcular termos de a 0 ! Afinal:

f x cos ⁡ n π x L = í m p a r ∙ p a r = í m p a r

E toda integral de função impar do tipo:

∫ - a a f u n ç ã o   í m p a r   d x = 0

Nossa série de Fourier fica mais simples:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

E ainda dá pra simplificar mais ainda. Afinal, como seno é uma função ímpar, temos:

f x sen ⁡ n π x L = í m p a r ∙ í m p a r = p a r

E portanto, como vale:

∫ - a a f u n ç ã o   p a r   d x = 2 ∫ 0 a f u n ç ã o   p a r   d x

Temos:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x 3

b n = 2 3 ∫ 0 3 f x sen ⁡ n π x 3 d x

Vamos continuar daí em diante no próximo passo, ok?

Passo 3

Show! Vamos lá! Primeira coisa a fazer é achar b n . Lembra lá do enunciado que tínhamos:

f x = 0 ,     0 < x < 1 3 ,     1 < x < 2 6 ,     2 < x < 3

Lembrou? Portanto b n fica:

b n = 2 3 ∫ 0 1 0 ∙ sen ⁡ n π x 3 d x + ∫ 1 2 3 ∙ sen ⁡ n π x 3 d x + ∫ 2 3 6 ∙ sen ⁡ n π x 3 d x

b n = 2 3 3 ∙ ∫ 1 2 sen ⁡ n π x 3 d x + 6 ∙ ∫ 2 3 sen ⁡ n π x 3 d x

Duas integrais da mesma coisa mas com limites de integração diferentes. Bem, de forma indefinida, temos:

∫ sen ⁡ n π x 3 d x = - 3 n π cos ⁡ n π x 3

Aplicando os limites de integração, temos então:

b n = - 2 3 ∙ 3 n π ∙ 3 ∙ cos ⁡ n π x 3 x = 1 x = 2 + 6 ∙ cos ⁡ n π x 3 x = 2 x = 3

b n = - 2 n π ∙ 3 ∙ cos ⁡ 2 n π 3 - cos ⁡ n π 3 + 6 ∙ cos ⁡ n π - cos ⁡ 2 n π 3

Fazendo a distributiva das constantes e juntando o termo em comum:

b n = - 2 n π ∙ 3 cos ⁡ 2 n π 3 - 3 cos ⁡ n π 3 + 6 cos ⁡ n π - 6 cos ⁡ 2 n π 3

b n = - 2 n π ∙ - 3 cos ⁡ 2 n π 3 - 3 cos ⁡ n π 3 + 6 cos ⁡ n π

O que resulta finalmente em:

b n = 6 n π ∙ cos ⁡ 2 n π 3 + cos ⁡ n π 3 - 2 cos ⁡ n π

Olha, aqui praticamente acabou viu? Vamos só tentar simplificar isso!

Passo 4

Show, nota o seguinte. Indo de n = 1 até n = 6 , vemos que:

cos ⁡ 2 π 3 + cos ⁡ π 3 - 2 cos ⁡ π = - 0,5 + 0,5 + 2 = 2

cos ⁡ 4 π 3 + cos ⁡ 2 π 3 - 2 cos ⁡ π = - 0,5 - 0,5 - 2 = - 3

cos ⁡ 6 π 3 + cos ⁡ 3 π 3 - 2 cos ⁡ π = 1 - 1 + 2 = 2

cos ⁡ 8 π 3 + cos ⁡ 4 π 3 - 2 cos ⁡ π = - 0,5 -   0,5 - 2 = - 3

cos ⁡ 10 π 3 + cos ⁡ 5 π 3 - 2 cos ⁡ π = - 0,5 + 0,5 + 2 = 2

cos ⁡ 12 π 3 + cos ⁡ 6 π 3 - 2 cos ⁡ π = 1 + 1 - 2 = 0

Se formos continuar vendo isso pra mais n , chegaremos a conclusão que:

cos ⁡ 2 n π 3 + cos ⁡ n π 3 - 2 cos ⁡ n π = 2 ,     s e   n   é   í m p a r 0 ,     s e   n   é   m ú l t i p l o   d e   6 - 3 ,     s e   n   é   p a r   p o r é m   n ã o   m ú l t i p l o   d e   6

Portanto, podemos separar b n em 3 partes também, já que:

b n = 6 n π ∙ cos ⁡ 2 n π 3 + cos ⁡ n π 3 - 2 cos ⁡ n π

Vamos ter:

b n = 12 n π ,     s e   n   é   í m p a r 0 ,     s e   n   é   m ú l t i p l o   d e   6 - 18 n π ,     s e   n   é   p a r   p o r é m   n ã o   m ú l t i p l o   d e   6

Separando a série de Fourier em termos pares e ímpares, temos:

f x = ∑ k = 1 ∞ b 2 k sen ⁡ 2 k π x 3 + ∑ k = 1 ∞ b 2 k - 1 sen ⁡ 2 k - 1 π x 3

E se adicionarmos a restrição no somatório direita

f x = ∑ k = 1 k ≠ 3 i i = 1,2 , 3 … ∞ b 2 k sen ⁡ 2 k π x 3 + ∑ k = 1 ∞ b 2 k - 1 sen ⁡ 2 k - 1 π x 3

Basta substituir os valores não nulos de b n , onde b 2 k com aquelas restrições é o b n para termos pares não múltiplos de 6 e b 2 k - 1 é o valor de b n para valores de n ímpares:

f x = ∑ k = 1 k ≠ 3 i i = 1,2 , 3 … ∞ - 18 n π ∙ sen ⁡ 2 k π x 3 + ∑ k = 1 ∞ 12 n π sen ⁡ 2 k - 1 π x 3

Aeee, acabaaamos!

Resposta

f x = ∑ k = 1 k ≠ 3 i i = 1,2 , 3 … ∞ - 18 n π ∙ sen ⁡ 2 k π x 3 + ∑ k = 1 ∞ 12 n π sen ⁡ 2 k - 1 π x 3

OBS: o texto k = 1 k ≠ 3 i i = 1,2 , 3 … significa, resumidamente, que 2 k não pode ser um múltiplo de 6

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Sejam v 1 ,v 2 e v 3 três vetores ortogonais dois a dois
f x = x 2 2 ,- 2 ≤ x2 f x + 4 = f ( x ) (a) Esboce o gráfic
Considere a função f definida no problema 21, e seja e m = f
f x = x ,- 1 ≤ x1 f x + 2 = f ( x ) (a) Esboce o gráfico da