Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

Ver Teoria

Enunciado

Seja f x = x , 0 ≤ x ≤ π 2 0 , π 2 < x ≤ π

a) Determine a série de Fourier de senos de f

b) Obtenha a soma da série de Fourier de senos de f   S : R → R , e esboce o gráfico de S no intervalo [ - 2 π , 2 π ]

c) Determine S 1319 π 2

Passo 1

a)

Quando ele pedir a série de Fourier a primeira coisa que sempre vamos fazer é o gráfico. Então vamos fazer gráfico da f x

Repara que ele pediu uma série de Senos, para termos uma série de Senos precisamos de uma função ímpar. Essa função f x por enquanto não é nem par nem ímpar. Precisamos da sua extensão ímpar. Para isso, vamos começar espelhando essa função em relação ao eixo y

Essa parte amarela é a parte espelhada. Agora precisamos espelhar essa parte amarela em relação ao eixo x .

O período de f - vai ser então, a função vermelha mais a função amarela. Então para desenharmos a função só precisamos repetir isso ao longo da parte toda. Além disso, vamos colocar os períodos marcados por retas tracejadas só para deixar bem indicado a parte da função que se repete.

Repara nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais.

Com x = π / 2 temos

f x + + f x - 2 = 0 + π 2 2 = π 4

Com x = - π / 2

f x + + f x - 2 = 0 - π 2 2 = - π 4

Assim temos que colocar, bola cheia no valor que está na metade do salto, e bola vazia nos “extremos” do salto.

Passo 2

Beleza, agora que temos o gráfico vamos para a série de Fourier.

A primeira coisa que temos que descobrir para fazer a série de Fourier é o período. Olhando aquele gráfico que fizemos podemos descobrir o período da extensão ímpar. O período ali do meio vai de – π até π , isso nos diz que

P = 2 π

Agora, repara que temos a série de senos da extensão ímpar, assim

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

a n = 0

b n = 2 L ∫ 0 π f x sen ⁡ n π x L d x ,     n = 0,1 , 2 …

Como vimos, o período vai ser 2 π , assim

2 L = 2 π ⇒ L = π

Passo 3

Vamso calcular os valores de b n . Temos que

b n = 2 π ∫ 0 π f x sen ⁡ n π x π d x = 2 π ∫ 0 π f x sen ⁡ n x d x

Trocando o valor de f x nessa integral, vamos ter de 0 à π / 2 sendo x e no resto sendo 0 . Então

b n = 2 π ∫ 0 π / 2 x sen ⁡ n x d x + ∫ π / 2 π 0 sen ⁡ n x d x

b n = 2 π ∫ 0 π / 2 x sen ⁡ n x d x

Precisamos resolver essa integral, para isso vamos fazer integração por partes

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Pegando

u = x → d u = d x

d v = sen ⁡ n x d x → v = - cos ⁡ n x n

A nossa integral vai ficar

∫ x sen ⁡ n x d x = - x cos ⁡ n x n - ∫ - cos ⁡ n x n d x = - x cos ⁡ n x n + 1 n ∫ cos ⁡ n x d x =

= - x cos ⁡ n x n + 1 n sen ⁡ n x n = - x cos ⁡ n x n + sen ⁡ n x n 2

Voltando para nossa integral

b n = 2 π ∫ 0 π / 2 x sen ⁡ n x d x = 2 π - x cos ⁡ n x n + sen ⁡ n x n 2 0 π / 2 =

b n = 2 π - π 2 cos ⁡ n π 2 n + sen ⁡ n π 2 n 2 - - 0 cos ⁡ 0 n + sen ⁡ 0 n 2

b n = 2 π - π cos ⁡ n π 2 2 n + sen ⁡ n π 2 n 2

b n = - 1 n cos ⁡ n π 2 + 2 π n 2 sen ⁡ n π 2

Passo 4

Agora que temos o valor de b n , bata substituirmos na fórmula de f x ali do passo 2

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n cos ⁡ n π 2 + 2 π n 2 sen ⁡ n π 2 sen ⁡ n x

Passo 5

b)

Aqui ele quer a fórmula da série de Fourier e o seu gráfico. O gráfico já fizemos no passo 1

Vamos escrever a fórmula agora, primeiro só na parte entre – π e π .

Entre - π / 2 e π / 2 , temos a fórmula f - x = x . Na outra parte do intervalo temos f x = 0 . E nos pontos de “pulo” temos

f - π 2 = π 4

f - - π 2 = - π 4

Assim nossa função vai ser

f - x = x s e - π 2 < x < π 2 0 s e - π < x < - π 2 o u π 2 < x < π π 4 s e x = π 2 - π 4 s e x = - π 2

Agora vamos escrever a soma S x , que vai ser essa f - x extendida para qualquer valor de x .

Repara que se somarmos 2 π no valor de x , o valor da função em x + 2 π não muda,

S x = S x + 2 π

Então podemos pegar cada pedaço de intervalo ali e somar 2 π no extremos, ou nos pontos. Podemos fazer isso para qualquer múltiplo natural de 2 π . Além disso, podemos subtrair também qualquer múltiplo natural de 2 π , assim a nossa função tem essa cara

S x = S x + 2 k π

Onde k é um inteiro, isso porque ele pode ser qualquer natural positivo ou negativo.

A soma no intervalo de – π até π vai ser a própria f - . Assim

S x + 2 k π = f - x

Agora é só pegar a nossa f - x e comar nos intervalos o 2 k π

S x = x s e - π 2 + 2 k π < x < π 2 + 2 k π 0 s e - π + 2 k π < x < - π 2 + 2 k π o u π 2 + 2 k π < x < π + 2 k π π 4 s e x = π 2 + 2 k π - π 4 s e x = - π 2 + 2 k π

Passo 6

c)

Agora precisamos achar

S 1319 π 2

Para isso precisamos descobrir em que intervalo esse cara está naquela fórmula da S x que achamos no passo anterior. Para isso temos que ir subtraindo o período do valor de x que ele quer até chegarmos em um valor entre – π e π .

Vamos fazer isso na mão assim? Eu me assusto em pensar em ir tirando 2 π em 2 π , mo doidera isso, vai que fico aqui até amanha fazendo isso. Vamos ver qual o valor que está multiplicando o π , fazendo a divisão entre 1319 e 2

1319 2 π = 659,5 π

Temos que comparar esse valor com os possíveis intervalos de S x que ele vai estar. Repara que ele precisa necessariamente igual a um dos intervalos onde temos π / 2 ou - π / 2 somados com 2 k π . Isso porque ele é um inteiro mais uma metade, 659 π + 0,5 π , sacou?

Isso nos diz que temos que fazer

659,5 π = π 2 + 2 k π

Ou

659,5 = - π 2 + 2 k π

Uma dessas duas equações vai nos dar o valor certo de k , enquanto a outra não vai dar.

Vamos resolver as duas e ver qual delas vai dar um problema.

659,5 π = π 2 + 2 k π → k = 659 2 = 329,5

659,5 π = - π 2 + 2 k π → k = 660 2 = 330

Como k é um cara inteiro ele não pode ser 329,5 .

Assim temos que

S 1319 π 2 = S - π 2 + 330 2 π

E isso nos diz que o valor da soma em 1319 π / 2 é o mesmo do valor da soma em - π / 2 . Coisa de função periódica isso rs

S 1319 π 2 = - π 4

Resposta

a)

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n cos ⁡ n π 2 + 2 π n 2 sen ⁡ n π 2 sen ⁡ n x

b)

S x = x s e - π 2 + 2 k π < x < π 2 + 2 k π 0 s e - π + 2 k π < x < - π 2 + 2 k π o u π 2 + 2 k π < x < π + 2 k π π 4 s e x = π 2 + 2 k π - π 4 s e x = - π 2 + 2 k π

c)

S 1319 π 2 = - π 4

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Sejam v 1 ,v 2 e v 3 três vetores ortogonais dois a dois em três dimensões, e seja u qualquer vetor tridimensional. Mostre que u = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 , Em que a i = u ∙ v i v i ∙ v i , i
f x = x 2 2 ,- 2 ≤ x2 f x + 4 = f ( x ) (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.(c) Faça o gráfico da soma parcial s m ( x ) em função
Considere a função f definida no problema 21, e seja e m = f x - s m ( x ) . f x = x 2 2 ,- 2 ≤ x2 f x + 4 = f ( x ) (a) Faça o gráfico de e m ( x ) em função de x para 0 ≤ x ≤ 2 para diversos valores
f x = x ,- 1 ≤ x1 f x + 2 = f ( x ) (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.(b) Encontre a série de Fourier para a equação dada.(c) Faça o gráfico da soma parcial s m ( x ) em função de
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. x 2