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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

  1. Considere a função f :   R → R de período 2 definida por f x = 1 - x 2 , para x ∈ [ - 1,1 ] . Determinar a série de Fourier da função f .
  2. Usando o item (a), calcular a soma da série ∑ n = 1 + ∞ - 1 n n 2 . Justifique a sua resposta.

Passo 1

A primeira coisa que você vai fazer em uma questão de série de Fourier é desenhar o gráfico de f ( x ) , mesmo que o enunciado não peça. Porque só assim podemos descobrir se é uma função par ou ímpar (ou nenhuma das duas), o que pode facilitar muito nossa vida!

Temos então:

Primeiro desenhamos a definição de f ( x ) que está nos colchetes no enunciado (em vermelho). Depois repetimos esse padrão a cada intervalo de 2 em x , pois esse é o seu período. É bom você sempre desenhar esse tracejado para marcar o período da função!

Bom, já deu para perceber que f ( x ) é uma função do tipo par, né? Ela é espelhada em y .

Passo 2

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é par, temos o seguinte:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L    

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 0

Como f x = f ( x + 2 ) , sabemos que o período da função é 2 esse é intervalo em que ela se repete. Lembra que a função representada por Série de Fourier tem que ser 2 L periódica? Então

2 L = 2     →     L = 1

Passo 3

Agora vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n e L = 1 , temos:

a 0 = 2 ∫ 0 1 f x d x

Como f x = 1 - x 2 , temos:

a 0 = 2 ∫ 0 1 1 - x 2   d x

a 0 = 2 x 0 1 - 2 x 3 3 0 1

Logo

a 0 = 4 3

Passo 4

Agora vamos calcular os outros a n ’s. Temos que:

a n = 2 ∫ 0 1 f x cos ⁡ n π x d x

O que nos dá

a n = 2 ∫ 0 1 cos ⁡ n π x d x - 2 ∫ 0 1 x 2 cos ⁡ n π x d x

a n = 2 n π sen ( n π x ) 0 1 - 2 ∫ 0 1 x 2 cos ⁡ n π x d x

a n = 2 n π sen n π 1 - sen n π 0 - 2 ∫ 0 1 x 2 cos ⁡ n π x d x

a n = 2 n π sen n π - sen 0 - 2 ∫ 0 1 x 2 cos ⁡ n π x d x

a n = 2 n π 0-0 - 2 ∫ 0 1 x 2 cos ⁡ n π x d x

a n = - 2 ∫ 0 1 x 2 cos ⁡ n π x d x

Como temos que

∫ x 2 cos ⁡ n π x L d x = L n π x 2  sen n π x L + 2 L 2 n 2 π 2 x cos ⁡ n π x L - 2 L 3 n 3 π 3 sen n π x L + C

Podemos escrever:

∫ 0 1 x 2 cos ⁡ n π x   d x = x 2 n π sen n π x 0 1 + 2 n 2 π 2 x cos ⁡ n π x 0 1 - 2 n 3 π 3 sen n π x 0 1

Logo

∫ 0 1 x 2 cos ⁡ n π x d x = 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π

Se não houver formulário, você tem que calcular essa integral do braço mesmo! Infelizmente :P Mas então chegamos a

a n = - 4 n 2 π 2 cos ⁡ n π

Sabemos que

cos ⁡ n π = - 1 n

Então temos o seguinte

a n = - 4 - 1 n n 2 π 2

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L    

L = 1

a 0 = 4 / 3

a n = - 4 - 1 n n 2 π 2

b n = 0

O que nos dá

f x = 2 3 - ∑ n = 1 ∞ 4 - 1 n n 2 π 2 cos ⁡ ( n π x )    

Passo 6

Letra b)

Agora o problema pede para calcularmos a soma da série

∑ n = 1 + ∞ - 1 n n 2

Ok, o que isso tem a ver com a questão?! Aparentemente nada, mas vamos olhar com mais calma. Vamos chamar essa soma de S , beleza?

∑ n = 1 + ∞ - 1 n n 2 = S

Repara no seguinte:

f x = 2 3 - 4 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 π 2 cos ⁡ ( n π x )    

Esse é o nosso resultado do item (a). Agora olha o que acontece quando fazemos x = 0

f 0 = 2 3 - 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 ⏟ S    

Como f ( x ) é contínua em x = 0 , pelo Teorema da convergência de Fourier, sabemos que a soma da série é igual ao valor da função naquele ponto. Caso houvesse descontinuidade, a série seria igual à média dos limites laterais da função no ponto em questão!

Bom, apareceu a soma S que queremos ali, né? Concluímos que:

S = π 2 2 3 - f 0 4

E nós sabemos, pelo próprio problema, que

f x = 1 - x 2

Logo

f 0 = 1

O que nos dá

S = - π 2 12

Resposta

  1. f x = 2 3 - ∑ n = 1 ∞ 4 - 1 n n 2 π 2 cos ⁡ ( n π x )    
  2. S = - π 2 12

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