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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Questão 1:

a) Determine a série de Fourier em cossenos da função f : 0 ,   1 → R , f x = 2 x - x 2 .

b) Utilizando o resultado em parte (a) e o teorema de convergência de Fourier, demonstre que

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Passo 1

Letra A:

Bem, a série de Fourier em cossenos tem essa formuleta aqui, oh:

g x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x

Onde podemos encontrar:

a 0 = 2 L ∫ 0 L f x d x

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x d x

Desde que L seja o intervalo de definição da nossa função:

f : 0 ,   L → R

No nosso caso...

f : 0 ,   1 → R

L = 1

f x = 2 x - x 2

Passo 2

Ok, então vamos simplesmente calcular o nosso a 0 substituindo e resolvendo a integral desse jeito aqui:

a 0 = 2 1 ∫ 0 1 2 x - x 2 d x =

2   x 2 - x 3 3   0 1   →

a 0 = 2 1 - 1 3 = 2 2 3 = 4 3

Passo 3

Agora, de forma análoga, vamos calcular o termo a n . Como? Resolvendo a integral :

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x d x   →

a n = 2 1 ∫ 0 1 2 x - x 2 cos ⁡ n π x d x

Bem, eu sei que provavelmente você como eu detesta integração por partes, mas infelizmente aqui não tem muito por onde correr, então:

u = 2 x - x 2               e               d v = cos ⁡ n π x d x

d u = 2 - 2 x   d x               e               v = sin ⁡ n π x n π

Substituindo na formulação de integrais por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u   →

∫     2 x - x 2 cos ⁡ n π x d x = 2 x - x 2 sin ⁡ n π x n π - ∫ 2 - 2 x sin ⁡ n π x n π d x   →

∫     2 x - x 2 cos ⁡ n π x d x = 2 x - x 2 sin ⁡ n π x n π - 1 n π ∫ 2 - 2 x sin ⁡ n π x d x   →

Eita! Para resolver essa outra integral que apareceu aí nos colchetes, novamente precisamos de integração por partes, mas dessa vez...

u = 2 - 2 x               e               d v = sin ⁡ n π x d x

d u = - 2   d x               e               v = - cos ⁡ n π x n π

Então...

∫ u d v = u v - ∫ v d u   →

∫ 2 - 2 x sin ⁡ n π x d x = - 2 - 2 x cos ⁡ n π x n π - ∫ - cos ⁡ n π x n π - 2   d x   →

∫ 2 - 2 x sin ⁡ n π x d x = - 2 - 2 x cos ⁡ n π x n π - 2 n π ∫ cos ⁡ n π x d x   →

∫ 2 - 2 x sin ⁡ n π x d x = - 2 - 2 x cos ⁡ n π x n π - 2 n π sin ⁡ n π x n π   →

∫ 2 - 2 x sin ⁡ n π x d x = - 2 - 2 x cos ⁡ n π x n π - 2 sin ⁡ n π x n 2 π 2

Beleza, agora substituindo esse resultado dentro dos colchetes...

∫     2 x - x 2 cos ⁡ n π x d x = 2 x - x 2 sin ⁡ n π x n π - 1 n π ∫ 2 - 2 x sin ⁡ n π x d x   →

∫     2 x - x 2 cos ⁡ n π x d x = 2 x - x 2 sin ⁡ n π x n π - 1 n π - 2 - 2 x cos ⁡ n π x n π - 2 sin ⁡ n π x n 2 π 2   →

Simplificando...

∫     2 x - x 2 cos ⁡ n π x d x = 2 x - x 2 sin ⁡ n π x n π + 2 - 2 x cos ⁡ n π x n 2 π 2 + 2 sin ⁡ n π x n 3 π 3  

Pois bem! Mas isso não é o que buscamos, afinal o que buscamos é encontrar esse a n aqui:

a n = 2 1 ∫ 0 1 2 x - x 2 cos ⁡ n π x d x =

Substituindo o resultado da integral...

2 2 x - x 2 sin ⁡ n π x n π + 2 - 2 x cos ⁡ n π x n 2 π 2 + 2 sin ⁡ n π x n 3 π 3 0 1 =

E substituindo os limites de integração...

2 2 - 1 sin ⁡ n π n π + 2 - 2 cos ⁡ n π n 2 π 2 + 2 sin ⁡ n π n 3 π 3 - 0 sin ⁡ 0 n π + 2 cos ⁡ 0 n 2 π 2 + 2 sin ⁡ 0 n 3 π 3 =

Simplificando...

2 sin ⁡ n π n π + 2 sin ⁡ n π n 3 π 3 - 2 n 2 π 2 =

Simplificando mais ainda lembrando que sin ⁡ n π = 0   para n = 1 ,   2 ,   3 … :

2 - 2 n 2 π 2 =

- 4 n 2 π 2

Passo 4

Então, para encontrar Fourier agora só falta substituir mesmo:

g x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x   →

g x = 4 3 2 + ∑ n = 1 ∞ - 4 n 2 π 2 cos ⁡ n π x   →

g x = 2 3 - 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ n π x

Passo 5

Letra B:

SHOW! Então, sabemos que:

f x = 2 x - x 2     →       f 0 = 0

E ainda mais! Sabemos que Fourier pelo Teorema da Convergência que a função f é igual a extensão de Fourier:

f x = g x ,         x ∈ [ 0 ,   2 ]

Então:

g 0 = 0 = 2 3 - 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ 0   →

Logo...

2 3 - 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 0     →

- 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = - 2 3     →

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 2 π 2 3 ⋅ 4     →

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6  

Resposta

Letra A:

g x = 2 3 - 4 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 cos ⁡ n π x

Letra B:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

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