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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja f : 0,2 → R , a função definida por

f x = 0   s e   0 ≤ x ≤ 1 1   s e   1 < x ≤ 2

  1. Determine a série de Fourier em cossenos de f
  2. Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item (a) no intervalo [0,6]
  3. Calcule o valor da série

∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1

Passo 1

a)

Ele pediu a série de Fourier em cossenos, vamos lembrar das nossa fórmulas

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 2

a 0 = ∫ 0 L f x d x

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,     n ≥ 1

Onde L = 2 nesse caso.

Passo 2

Vamos calcular os coeficientes

a 0 = ∫ 0 2 f x d x = ∫ 0 1 0 d x + ∫ 1 2 1 d x = 0 + 2 - 1 = 1

Para n ≥ 1

a n = ∫ 0 2 f x cos ⁡ n π x 2 d x = ∫ 0 1 0 × cos ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 1 × cos ⁡ n π x 2 d x

a n = ∫ 1 2 cos ⁡ n π x 2 d x

Calculando essa integral

a n = 2 n π sen ⁡ n π x 2 1 2 = - 2 n π sen ⁡ n π 2

Agora que obtemos os coeficientes temos que a série será

f x = 1 2 - 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n π sen ⁡ n π 2 cos ⁡ n π x 2

Passo 3

b)

Para esboçar o gráfico dessa função no intervalo [0,6] vamos ter que expandi-la.

Temos que definir um valor novo para o ponto de descontinuidade de forma que

f x = 0 + 1 2 = 1 2

f x = 0   s e   0 ≤ x < 1 1 2   s e   x = 1 1   s e   1 < x ≤ 2   ,     f x + 4 = f ( x )

Assim t eremos o gráfico abaixo.

Passo 4

c)

Como a extensão par de f é continua em x = 0 podemos dizer, pelo Teorema de Convergência de Fourier que

f 0 = 1 2 - 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n π sen ⁡ n π 2 = 0

Disso obtemos que

∑ n = 1 ∞ 1 n sen ⁡ n π 2 = π 4

Beleza, isso tudo é muito legal, mas não fizemos isso à toa. Vamos analisar os valores de sen ⁡ n π 2

sen ⁡ n π 2 = 0   s e   n = 2 k - 1 k   s e   n = 2 k + 1 ,   k ∈ Z +

Agora está começando a aparecer o que estamos procurando. Percebemos que daquele nosso somatório nós só teremos valores diferentes de zero quando n for impar. Então podemos escrever

∑ n = 1 ∞ 1 n sen ⁡ n π 2 = ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 = π 4

Resposta

a)

f x = 1 2 - 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n π sen ⁡ n π 2 cos ⁡ n π x 2

b)

c)

∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 = π 4

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