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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja f x = 1 + x ,           0 < x < 1 .

  1. Determine uma extensão ímpar periódica de período 2 de f .
  2. Determine a série de Fourier de senos que representa f para 0 < x < 1 .
  3. Determine o gráfico da série de Fourier obtida no item (b) no intervalo [ - 3 ,   3 ] .

Passo 1

Letra c)

A letra c é a que pede o gráfico da série de Fourier, mas vamos fazer logo aqui porque isso ajuda muito para visualizar a questão, ok? Vamos lá. Graficamente é isso aqui:

Essa é a definição de f ( x ) que o problema deu:

Vamos fazer a extensão ímpar dessa função. Primeiro nós espelhamos ela em relação ao eixo y

Espelhamos essa reta verde no eixo x :

O período de f - é então essa parte azul mais a vermelha! É só repetir isso aí.

Pronto, temos então três períodos da função, como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais. Nesse caso:

f x + + f x - 2 = 0

Nós colocamos então as bolinhas cheias em y = 0 (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades). Não poderia ser diferente, né? Uma extensão periódica ímpar sempre apresenta:

f 0 = f L = f - L = 0

Como a gente já viu. Isso é muito importante! Não se esqueça!

Passo 2

Letra a)

Agora vamos fazer essa extensão matematicamente.

A definição de uma função ímpar diz que

f - x = - f - ( - x )

Escrevemos f - porque estamos falando da extensão de f , ok? Como a extensão tem período 2 , podemos dizer que:

f - ( x ) = f - ( x + 2 )

Beleza, vamos fazer isso aí. Como o período é 2 , precisamos definir a função em [ - 1,1 ) e repetir esse padrão. Está faltando a definição de f - entre - 1 e 0 .

Para 0 < x < 1 : f - x = f x = 1 + x

Essa é a equação da reta vermelha.

Para - 1 < x < 0 : f - x = - f - x = - 1 + - x = x - 1

Essa é a equação da reta azul. Se você se confundir com a definição de função ímpar, também pode encontrar a equação dessa reta usando o gráfico! A reta passa nos pontos ( - 1 , - 2 ) e ( 0 , - 1 ) .

Não podemos nos esquecer de que na origem e em x = L = - 1 a função deve valer zero.

Então temos que:

f - x = 0 ,                                       x = - 1 ; 0 x - 1 ,                   - 1 < x < 0 x + 1 ,                               0 < x < 1

Como a função é periódica, isso se repete

f - ( x ) = f - ( x + 2 )

Passo 3

Letra b)

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos o seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L    

a n = 0

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Como o período da função é 2 como o enunciado pediu, temos:

2 L = 2     →     L = 1

Passo 4

Vamos calcular os b n ’s. Temos que:

b n = 2 ∫ 0 1 f x sen ⁡ ( n π x ) d x

Agora vamos substituir a expressão de f ( x ) :

b n = 2 ∫ 0 1 ( 1 + x ) sen ⁡ ( n π x ) d x

b n = 2 ∫ 0 1 sen ⁡ ( n π x ) d x + 2 ∫ 0 1 x sen ⁡ ( n π x ) d x

b n = - 2 n π c o s ⁡ ( n π x ) 0 1 + 2 ∫ 0 1 x sen ⁡ ( n π x ) d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x       →       u ' = 1

v ' = sen ⁡ n π x       →         v = - 1 n π c o s n π x

b n = - 2 n π [ cos ⁡ n π - 1 ] - 2 x n π c o s n π x 0 1 + ∫ 0 1 2 n π c o s n π x d x

b n = - 2 n π cos ⁡ n π - 1 - 2 n π c o s n π + 2 sen ⁡ n π n 2 π 2

b n = 2 n π - 2 n π cos ⁡ n π + sen ⁡ n π n 2 π 2  

Beleza, agora, se a gente lembrar que

cos ⁡ n π = - 1 n

Temos o seguinte:

b n = 2 n π - 2 n π - 1 n + sen ⁡ n π n 2 π 2

Além disso, sabemos que

sen ⁡ n π = 0

Logo,

b n = 2 n π - 2 n π - 1 n n 2 π 2

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L    

L = 1

a n = 0

b n = 2 n π - 2 n π - 1 n n 2 π 2

O que nos dá

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n π - 2 n π - 1 n n 2 π 2 sen ⁡ ( n π x )        

Resposta

  1. f - x = 0 ,                                       x = - 1 ; 0 x - 1 ,                   - 1 < x < 0 x + 1 ,                               0 < x < 1

    f - ( x ) = f - ( x + 2 )

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 1 - 2 - 1 n n π sen ⁡ ( n π x )

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