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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

( a ) Determine a extensão ímpar da função f x = 25 para 0 < x < 5 .

( b ) Encontre a série de Fourier de senos da extensão ímpar da função f x = 25 para 0 < x < 5 .

Passo 1

( a ) Para encontrar uma extensão ímpar da função f ( x ) , definimos:

f x = 25 ,       0 < x < 5 - 25 ,     - 5 < x < 0 0 ,       x = 5 k ,       k ∈ Z

Passo 2

( b ) Para calcular a série de Fourier, primeiro identificamos o período P = 2 L = 10 . Isto é, f x + 10 = f ( x ) . Portanto, L = 5 .

Assim, a série é dada por senos (já que ela é ímpar):

f x = ∑ n = 1 ∞ b n   s e n n π x 5

Passo 3

Vamos avaliar os coeficientes da série:

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x 5 d x

b n = 1 5 ∫ - 5 0 - 25 sen ⁡ n π x 5 d x + 1 5 ∫ 0 5 25 sen ⁡ n π x 5 d x

Mas como f ( x ) e sen ⁡ n π x 5 são ímpares, o produto é par. Logo, ambas as integrais acima são iguais:

b n = 2 . 1 5 ∫ 0 5 25 sen ⁡ n π x 5 d x

b n = 2 5 - 25   5 n π cos ⁡ n π x 5 0 5

b n = - 50 n π cos ⁡ n π - 1

Passo 4

Mas como cos ⁡ ( n π ) = - 1 n , segue que

b n = 50 n π 1 - - 1 n

b n = 0 ,       n   p a r 10 0 n π ,       n   í m p a r

Assim, temos:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n   s e n n π x 5

Passo 5

Finalmente, podemos fazer n = 2 k + 1 , k ∈ Z + , para pegar os coeficientes ímpares:

f x = ∑ k = 0 ∞ b 2 k + 1   s e n ( 2 k + 1 ) π x 5

Como

b 2 k + 1 = 100 n π = 100 ( 2 k + 1 ) π

obtemos:

f x = ∑ k = 0 ∞ 100 ( 2 k + 1 ) π   s e n ( 2 k + 1 ) π x 5

Resposta

( a ) f x = 25 ,       0 < x < 5 - 25 ,     - 5 < x < 0 0 ,       x = 5 k ,       k ∈ Z

( b ) f x = ∑ k = 0 ∞ 100 ( 2 k + 1 ) π   s e n ( 2 k + 1 ) π x 5

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