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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja f : 0,2 → R a função definida por

f x = x s e 0 ≤ x ≤ 1 2 - x s e 1 < x ≤ 2

a) Determine a série de Fourier em senos de f

b) Esboce o gráfico da série de Fourier, obtida no item anterior, no intervalo - 2,2

c) Calcule o valor da série

∑ m = 0 ∞ 1 2 m + 1 2

Passo 1

Para resolver isso vamos, vamos encontrar o coeficiente da série de Fourier, mas perceba que como somente é a série em senos, só precisamos saber b n .

Assim, temos que:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Substituindo:

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 ( 2 - x ) sen ⁡ n π x 2 d x

b n = ∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x + ∫ 1 2 2 sen ⁡ n π x 2 d x - ∫ 1 2 x sen ⁡ n π x 2 d x

Passo 2

Beleza, agora vamos resolver isso aí.

A integral:

∫ x sen ⁡ n π x 2 d x = - 2 x n π cos ⁡ n π x 2 + 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π x 2

Então:

∫ 0 1 x sen ⁡ n π x 2 d x = 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π 2

∫ 1 2 x sen ⁡ n π x 2 d x = 4 - 1 n + 1 n π - 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 + 2 n π cos ⁡ n π 2

E:

∫ 1 2 2 sen ⁡ n π x 2 d x = - 4 n π - 1 n - cos ⁡ n π 2

Juntando tudo:

b n = 1 + - 1 n + 1 4 n 2 π 2 sen ⁡ n π 2 - 2 n π cos ⁡ n π 2

Agora vamos analisar o valor de b n em relação a paridade de n . Vamos lá

Quando n é par, 1 + - 1 n + 1 = 0 logo b n = 0

Quando n   é ímpar, b n = 2 4 n 2 π 2 - 1 n

Assim, temos:

S x =   ∑ n = 0 ∞ 8 - 1 n ( 2 n + 1 ) 2 π 2 sen ⁡ ( 2 n + 1 ) π x 2

Passo 3

b)

Agora vamos plotar o gráfico. Esse gráfico é bem simples, no intervalo de - 2,2 ele ficará como:

Passo 4

c)

Perceba que esse valor aparece no somatório. Basta escolhermos um valor para x para que o tenhamos somente constantes acompanhadas de 1 2 n + 1 2

Tomando x = 1 temos:

f 1 = 1 =   S 1 =   ∑ n = 0 ∞ 8 - 1 n ( 2 n + 1 ) 2 π 2 sen ⁡ ( 2 n + 1 ) π 2 ⏟ - 1 n ⟹ 1 =   ∑ n = 0 ∞ 8 ( 2 n + 1 ) 2 π 2

Logo temos que:

∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) 2 = π 2 8  

Resposta

  1. S x =   ∑ n = 0 ∞ 8 - 1 n ( 2 n + 1 ) 2 π 2 sen ⁡ ( 2 n + 1 ) π x 2
  2. ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) 2 = π 2 8  

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